Phương pháp sử dụng hàm sinh xác định công thức tổng quát của dãy số
 

Chào các bạn. Trong [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] lần trước mình có nói đến một phần kiến thức sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số . Sau đó mình có thời gian hơn thì mình viết sâu thêm về vấn đề này. bài viết này mình cũng đã hoàn thành khá lâu nhưng nay mới có dịp đăng tặng các bạn nhân dịp kỉ niệm 26 tháng 3 sắp tới.

I. Cơ sở lí thuyết hàm sinh

1.Định nghĩa: Hàm sinh của dãy số vô hạn $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ,...$ là là một chuỗi hình thức được xác định bởi $G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...+a_{n} x^{n} +...$:
2.Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh:
a, $\dfrac{1}{1-x} =1+x+x^{2} +x^{3} +...$
b, $\dfrac{1}{(1-x)^{2} } =1+2x+3x^{2} +4x^{3} +...$

c, $\dfrac{1}{(1-x)^{n} } =1+nx+\frac{n(n+1)}{2!} x^{2} +\frac{n(n+1)(n+2)}{3!} x^{3} +...=\sum _{i=0}^{\infty }C_{i+n-1}^{i} x^{i} $ với $n\in N$

d, $\dfrac{1}{1+x} =1-x+x^{2} -x^{3} +...$

e, $\dfrac{1}{(1-ax)^{2} } =1+2ax+3a^{2} x^{2} +4a^{3} x^{3} +...$

f, $\dfrac{1}{1-x^{r} } =1+x^{r} +x^{2r} +x^{3r} +...$

g, $\dfrac{1}{1+x^{r} } =1-x^{r} +x^{2r} -x^{3r} +...$

II.Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số điển hình.
Thông thường các bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp hoặc phương pháp giải phương trình sai phân để tìm công thức tổng quát của dãy số . Bài viết này nhằm cung cấp cho các bạn thêm một phương pháp nữa cũng khá hay để tìm công thức tổng quát của dãy số dựa trên cơ sở hàm sinh.Hi vọng rằng qua 8 ví dụ minh họa sau bạn đọc sẽ nắm chắc và vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh tìm công thức tổng quát của dãy số.

Ví dụ 1:

Tìm công thức tổng quát của dãy số Fibonacci($F_n$ )với :
\[\left\{\begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} =1} \\ {F_{n} =F_{n-1} +F_{n-2} } \end{array}\right. n\ge 3\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy $(F_n )$, và giả sử $F_0=0$ chúng ta có:
$$G(x)=F_{0} +F_{1} x+F_{2} x^{2} +F_{3} x^{3} +... $$$$-xG(x)= -F_{0} x-F_{1} x^{2} -F_{2} x^{3} -... $$$$-x^{2} G(x)= -F_{0} x^{2} -F_{1} x^{3} -F_{2} x^{4} -... $$ Từ 3 đẳng thức trên, ta có :
\[(1-x-x^{2} )G(x)=F_{0} +(F_{1} -F_{0} )x+(F_{2} -F_{1} -F_{0} )x^{2} +...=x\]
\[\Leftrightarrow G(x)=\frac{x}{1-x-x^{2} } \]
Phân tích $G(x)=\dfrac{x}{1-x-x^{2} } =\dfrac{A}{1-\alpha x} +\dfrac{B}{1-\beta x} $
Với $\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5} }{2} ;\beta =\dfrac{1-\sqrt{5} }{2} $ là hai nghiệm của phương trình $1-x-x^{2} =0$\\
Quy đồng và đồng nhất hệ số, chúng ta được $A=\frac{1}{\sqrt{5} } ;B=-\frac{1}{\sqrt{5} } $.
Vậy $G(x)=\dfrac{x}{1-x-x^{2} } =\dfrac{1}{\sqrt{5} } \left(\dfrac{1}{1-\alpha x} -\dfrac{1}{1-\beta x} \right)$

\[\Leftrightarrow \sqrt{5} G(x)=\left(\dfrac{1}{1-\alpha x} -\dfrac{1}{1-\beta x} \right)=\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha x)^{n} - \sum _{k=1}^{\infty }(\beta x)^{n} =\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha ^{n} - \beta ^{n} )x^{n} \]
Vậy $G(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\dfrac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\sqrt{5} } x^{n} $
Hệ số của trong khai triển là $F_{n} =\dfrac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\sqrt{5} } =\dfrac{1}{\sqrt{5} } \left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left(\dfrac{1-\sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right]$
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $F_{n} =\frac{1}{\sqrt{5} } \left[\left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left(\frac{1-\sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right]$,$n\ge 0$
Nhận xét: Vậy với cách sử dụng hàm sinh chúng ta cũng đã tìm ra được công thức tổng quát của dãy số Fibonacci nổi tiếng.
Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu thêm một số ví dụ tương tự như dãy trên để thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp hàm sinh. Chũng ta cùng đi đến ví dụ sau:

Ví dụ 2

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =1;a_{1} =2} \\ {a_{n+2} =5a_{n+1} -4a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0 (*)\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
$G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +... $
$ -5xG(x)= -5a_{0} x-5a_{1} x^{2} -5a_{2} x^{3} +... $
$4x^{2} G(x)= 4a_{0} x^{2} +4a_{1} x^{3} +... $
Cộng ba đẳng thức trên và kết hợp (*) ta có:\[G(x)-5xG(x)+4x^{2} G(x)=a_{0} +(a_{1} -5a_{0} )x+(a_{2} -5a_{1} +4a_{0} )x^{2} +...=1-3x\]
\[\Leftrightarrow (1-5x+4x^{2} )G(x)=1-3x\]
Do đó $G(x)=\dfrac{1-3x}{1-5x+4x^{2} } =\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{1}{1-x} \right)+\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{1-4x} \right)$
\[=\dfrac{2}{3} (1+x+x^{2} +...)+\dfrac{1}{3} {\rm [}1+(4x)+(4x)^{2} +...{\rm ]}\]
Do đó hệ số của $x^n$ trong khai triển của $G(x)$ là $\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $ nên $a_{n} =\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $,$n\ge 0$.
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $a_{n} =\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $,$n\ge 0$.
Nhận xét:Như vậy hàm sinh đã giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi:
$\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a;a_{1} =b} \\ {a_{n+2} =p.a_{n+1} +q.a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0$
Để ý với bài toán ở ví dụ1 và ví dụ 2, chúng ta thấy hàm G(x) có mẫu số là tam thức bậc hai, chẳng hạn ở ví dụ 2 chúng ta có mẫu số của hàm sinh là $f(x)=1-5x+4x^{2} $ có 2 nghiệm phân biệt là $x=1;x=\frac{1}{4} $. Vậy trong trường hợp mẫu số của G(x) là phương trình bậc hai có nghiệm kép thì chúng ta làm như thế nào? Ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta xử lí tình huống đó:

Ví dụ 3

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a_{1} =1} \\ {a_{n+2} =4a_{n+1} -4a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
$G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +... $
$-4xG(x)= -4a_{0} x-4a_{1} x^{2} -4a_{2} x^{3} -... $
$4x^{2} G(x)= 4a_{0} x^{2} +4a_{1} x^{3} +... $
Cộng ba đẳng thức trên ta có:
\[G(x)-4xG(x)+4x^{2} G(x)=a_{0} +(a_{1} -4a_{0} )x=1-3x \Leftrightarrow (1-4x+4x^{2} )G(x)=1-3x\]
Do đó $G(x)=\dfrac{1-3x}{1-4x+4x^{2} } =\dfrac{1-3x}{(1-2x)^{2} } =\dfrac{1}{1-2x} -\dfrac{x}{(1-2x)^{2} } $
\[=\sum _{n=1}^{\infty }(2x)^{n} -x\sum _{n=1}^{\infty }(2x)^{n-1} =\sum _{n=1}^{\infty }(2^{n} -n2^{n-1} )x^{n} \]
Hệ sô của $x^{n} $trong khai triển của $G(x)$là $2^{n} -n2^{n-1} $ nên $a_{n} =2^{n} -n2^{n-1} $,$n\ge 0$.
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $a_{n} =2^{n} -n2^{n-1} $,$n\ge 0$.
Nhận xét: Trong ví dụ 2 và ví dụ 3 chúng ta thấy mẫu số của hàm sinh G(x) đều có nghiệm thực để chúng ta phân tích thành các nhân tử có dạng .
Câu hỏi đặt ra là “Nếu mẫu số của hàm sinh G(x) vô nghiệm thì chúng ta sẽ không có phân tích thành các nhân tử có dạng . Khi đó chúng ta phải giải quyết bài toán này như thế nào”. Đặt ra câu hỏi này, tôi đã dành thời gian suy nghĩ và tìm hiểu vì trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy số vô nghiệm thì nhìn chung chúng ta chỉ biết đến phương pháp giải phương trình sai phân là giải quyết được bài toán này thông qua số phức nhưng với hàm sinh thì sao?. Dựa vào ý tưởng số phức ở phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát của dãy số thật thú vị là cũng vẫn với ý tưởng số phức, chúng ta áp dụng vào hàm sinh và thấy rằng hàm sinh cũng giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy vô nghiệm.

Bài viết còn tiếp tục, mời bạn đọc theo dõi tiếp kì sau.

Anh thấy hỏng ngay từ định nghĩa hàm sinh rồi Quân ơi.

Em xin góp ý là phần I2, cần bổ sung điều kiện của x để các chuỗi hội tụ. :))

Em cảm ơn anh đã góp ý. Hàm sinh là một kiến thức ở bậc Đại học với khai triển chuỗi lũy thừa TayLor là chủ yếu.Trong chừng mực kiến thức của em. Em cố gắng định nghĩa một cách sao cho mình cảm thấy dễ hiểu cho bậc THPT giúp các em cảm nhận được . nếu đi sâu quá thì có lẽ hơi khó hình dung cho các em học sinh THPT. nếu có thể anh AG định nghĩa hoặc chỉnh lí giúp em cho hoàn thiện hơn. Em cảm ơn.

Cảm ơn Sang đã góp ý :Cái này anh nghĩ không cần vì đây chỉ là chuỗi hình thức cụ thể em có thể xem thêm tài liệu tham khảo của thầy Nam Dũng cũng có đoạn sau giúp em rõ hơn: :))
Ta gọi hàm sinh là chuỗi hình thức bởi vì thông thường ta sẽ chỉ coi x là một ký hiệu thay thế thay vì một số. Chỉ trong một vài trường hợp ta sẽ cho x nhận các giá trị thực, vì thế ta gần như cũng không để ý đến sự hội tụ của các chuỗi

Gửi chú Quân và các bạn cuốn sách sau, đọc nó ta sẽ hiểu thêm và đúng hơn về Hàm sinh [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] .

Chúng ta tiếp tục đến phần tiếp theo của bài viết. Như trên chúng ta đang đề cập đến vấn đề mẫu số không có nghiệm thực, và chúng ta không phân tích được thành nhân tử thì chúng ta sẽ làm thế nào. Ví dụ sau sẽ minh họa cho bạn câu trả lời cho cách giải quyết trong trường hợp này:

Ví dụ 4

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :
$\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =1;a_{1} =\frac{1}{2} }\\ {a_{n+2} =a_{n+1} -a_{n} } \end{array}\right. $ với $n\ge 0$ (*)
Lời Giải
Đặt $G(x)$là hàm sinh cho dãy ( $a_n$), chúng ta có:
$G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +... $
$-xG(x)= -a_{0} x-a_{1} x^{2} -a_{2} x^{3} -... $
$x^{2} G(x)= a_{0} x^{2} +a_{1} x^{3} +... $
Cộng ba đẳng thức trên ta có:
\[G(x)-xG(x)+x^{2} G(x)=a_{0} +(a_{1} -a_{0} )x+(a_{2} -a_{1} -a_{0} )x^{2} +...=1-\frac{1}{2} x\]
\[\Leftrightarrow (1-x+x^{2} )G(x)=1-\frac{1}{2} x=\frac{2-x}{2} \]
Do đó $G(x)=\dfrac{2-x}{2(1-x+x^{2} )} =\dfrac{2-x}{2\left(1-\dfrac{1-i\sqrt{3} }{2} x\right)\left(1-\dfrac{1+i\sqrt{3} }{2} x\right)} $
\[G(x)=\frac{2-x}{2(1-x+x^{2} )} =\frac{2-x}{2\left(1-\frac{1-i\sqrt{3} }{2} x\right)\left(1-\frac{1+i\sqrt{3} }{2} x\right)} =\frac{A}{1-\frac{1-i\sqrt{3} }{2} x} +\frac{B}{1-\frac{1+i\sqrt{3} }{2} x} \]
Đem quy đồng và đồng nhất hệ số ta được $A=B=\dfrac{1}{2} $.
Vậy ta có:\[G(x)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-\frac{1-i\sqrt{3} }{2} x} +\frac{1}{1-\frac{1+i\sqrt{3} }{2} x} \right)=\frac{1}{2} \sum _{k=0}^{\infty }\left[\left(\frac{1-i\sqrt{3} }{2} \right)^{k} +\left(\frac{1+i\sqrt{3} }{2} \right)^{k} \right] x^{k} \]
\[=\frac{1}{2} \sum _{k=0}^{\infty }\left[\left(c{\rm os(}\frac{-\pi }{3} {\rm )}+i\sin {\rm (}\frac{-\pi }{3} {\rm )}\right)^{k} +\left(c{\rm os}\frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} \right)^{k} \right] x^{k} \]
\[=\frac{1}{2} \sum _{k=0}^{\infty }\left[c{\rm osk(}\frac{-k\pi }{3} {\rm )}+i\sin {\rm (}\frac{-k\pi }{3} {\rm )}+c{\rm os}\frac{k\pi }{3} +i\sin \frac{k\pi }{3} \right] x^{k} \]
\[=\frac{1}{2} \sum _{k=0}^{\infty }2c{\rm os}\frac{k\pi }{3} x^{k} =\sum _{k=0}^{\infty }c{\rm os}\frac{k\pi }{3} x^{k} \]
Vậy hệ số $a_{n} $ có hàm sinh G(x) là: $a_{n} =c{\rm os}\dfrac{n\pi }{3} $\\
Do đó công thức tổng quát của dãy số đã cho là: $a_{n} =c{\rm os}\dfrac{n\pi }{3} $

Bây giờ chúng ta xét tới trường hợp bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số mà vế phải còn có thêm hàm f(n).

Trước hết ta xét dãy số có dạng :
$\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a;a_{1} =b} \\ {a_{n+2} =p.a_{n+1} +q.a_{n} +f(n)} \end{array}\right. n\ge 0$

Ví dụ 5 và ví dụ 6 sau đây sẽ minh họa cho cách làm sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số có dạng đã cho:

Ví dụ 5

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =0,a_{1} =1} \\ {a_{n} +5a_{n-1} +6a_{n-2} =3n} \end{array}\right. n\ge 2 (*)\]
Lời Giải

Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
\[G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +a_{3} x^{3} +...\]
\[5xG(x)= 5a_{0} x+5a_{1} x^{2} +5a_{2} x^{3} +5a_{3} x^{4} +...\]
\[6x^{2} G(x)= 6a_{0} x^{2} +6a_{1} x^{3} +6a_{2} x^{4} +6a_{3} x^{5} +...\]
Cộng các đẳng thức trên ta có:
\[(1+5x+6x^{2} )G(x)=a_{0} +(a_{1} +5a_{0} )x+(a_{2} +5a_{1} +6a_{0} )x^{2} +(a_{3} +5a_{2} +6a_{1} )x^{3} +...\]
\[=x+3(2x^{2} +3x^{3} +4x^{4} +...)\]
\[=x+3x(2x+3x^{2} +4x^{3} +...)\]
\[=-2x+3x(1+2x+3x^{2} +4x^{3} +...)\]
\[=-2x+\frac{3x}{(1-x)^{2} } =\dfrac{-2x^{3} +4x^{2} +x}{(1-x)^{2} } \]
Vậy $G(x)=\dfrac{-2x^{3} +4x^{2} +x}{(1+5x+6x^{2} )(1-x)^{2} } =\dfrac{-2x^{3} +4x^{2} +x}{(3x+1)(2x+1)(1-x)^{2} } $
Phân tích $G(x)=\dfrac{-2x^{3} +4x^{2} +x}{(3x+1)(2x+1)(1-x)^{2} } =\dfrac{A}{3x+1} +\dfrac{B}{2x+1} +\dfrac{C}{1-x} +\dfrac{D}{(1-x)^{2} } $
Đồng nhất hệ số chứng ta tìm được : $A=\dfrac{5}{16} ;B=\dfrac{-2}{3} ;C=\dfrac{5}{48} ;D=\dfrac{1}{4} $
Vâỵ $G(x)=\dfrac{-2x^{3} +4x^{2} +x}{(3x+1)(2x+1)(1-x)^{2} } =\dfrac{5}{16} .\dfrac{1}{1+3x} -\dfrac{2}{3} .\dfrac{1}{1+2x} +\dfrac{5}{48} .\dfrac{1}{1-x} +\dfrac{1}{4} .\dfrac{1}{(1-x)^{2} } $
\[=\frac{5}{16} \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i} (3x)^{i} -\frac{2}{3} \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i} (2x)^{i} +\frac{5}{48} \sum _{i=0}^{\infty }x^{i} +\dfrac{1}{4} \sum _{i=0}^{\infty }(i+1)x^{i} \]
Hệ số của $x^{n} $trong khai triển của $G(x)$là
\[\dfrac{5}{16} (-1)^{n} 3^{n} -\dfrac{2}{3} (-1)^{n} 2^{n} +\dfrac{5}{48} +\dfrac{1}{4} (n+1)=\dfrac{5}{16} (-1)^{n} 3^{n} -\frac{2}{3} (-1)^{n} 2^{n} +\dfrac{n}{4} +\dfrac{17}{48} \]
Vậy $a_{n} =\dfrac{5}{16} (-1)^{n} 3^{n} -\dfrac{2}{3} (-1)^{n} 2^{n} +\dfrac{n}{4} +\dfrac{17}{48} $

Ví dụ 6

Tìm công thức tổng quát của dãy số ( $a_n$)với :
$\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =0,a_{1} =1} \\ {a_{n} =5a_{n-1} -6a_{n-2} +5^{n} } \end{array}\right. $ với $n\ge 2$(*)
Lời Giải

Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy ($a_n$), chúng ta có:
\[G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +a_{3} x^{3} +...\]
\[-5xG(x)= -5a_{0} x-5a_{1} x^{2} -5a_{2} x^{3} -5a_{3} x^{4} -...\]
\[6x^{2} G(x)= 6a_{0} x^{2} +6a_{1} x^{3} +6a_{2} x^{4} +6a_{3} x^{5} +...\]
Cộng ba đẳng thức trên ta có:
\[(1-5x+6x^{2} )G(x)=x+\sum _{i=2}^{\infty }(a_{i} -5a_{i-1} +6a_{i-2} ) x^{i} =x+\sum _{i=2}^{\infty }5^{i} x^{i} \]
\[=x+5^{2} x^{2} +5^{3} x^{3} +5^{4} x^{4} +...\]
\[=x+(5x)^{2} \left[1+(5x)+(5x)^{2} +...\right]\]
\[=x+\frac{(5x)^{2} }{1-5x} =\frac{25x^{2} +x-5x^{2} }{1-5x} =\frac{20x^{2} +x}{1-5x} \]
Do đó: $G(x)=\dfrac{20x^{2} +x}{(1-5x)(1-5x+6x^{2} )} =\dfrac{20x^{2} +x}{(1-5x)(1-2x)(1-3x)} $
Ta có: $G(x)=\dfrac{20x^{2} +x}{(1-5x)(1-2x)(1-3x)} =\dfrac{A}{1-5x} +\dfrac{B}{1-2x} +\dfrac{C}{1-3x} $
Đồng nhất hệ số, chúng ta được:
\[G(x)=\dfrac{25}{6} .\dfrac{1}{1-5x} +\dfrac{22}{3} .\dfrac{1}{1-2x} -\dfrac{23}{2} .\dfrac{1}{1-3x} \]
\[G(x)=\dfrac{25}{6} \sum _{i=0}^{\infty }(5x)^{i} +\dfrac{22}{3} \sum _{i=0}^{\infty }(2x)^{i} -\dfrac{23}{2} \sum _{i=0}^{\infty }(3x)^{i} \]
Hệ số của $x^{n} $trong khai triển của $G(x)$ là $\dfrac{25}{6} .5^{n} +\dfrac{22}{3} .2^{n} -\dfrac{23}{2} .3^{n} $ nên $a_{n} =\dfrac{25}{6} .5^{n} +\dfrac{22}{3} .2^{n} -\dfrac{23}{2} .3^{n} $,$n\ge 1$.
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $a_{n} =\dfrac{25}{6} .5^{n} +\dfrac{22}{3} .2^{n} -\dfrac{23}{2} .3^{n} $,$n\ge 1$.

Nhận xét : Thông qua các ví dụ trên chúng ta thấy hàm sinh là một công cụ hữu hiệu giải quyết các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số có dạng \[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a;a_{1} =b}\\ {a_{n+2} =p.a_{n+1} +q.a_{n} +f(n)} \end{array}\right. n\ge 0\]

Câu hỏi đặt ra đối với dãy số có công thức truy hồi tổng quát phức tạp hơn thì chúng ta làm như thế nào? Để trả lời cho câu hỏi này và hướng giải quyết như thế nào mời các bạn theo dõi tiếp kì cuối của bài viết vào ngày 25 tháng 3.

Chúng ta tiếp tục đi đến phần kết của bài viết. Trở lại với vấn đề đặt ở ra ở phần trên khi mà phương trình đặc trưng của dãy số không phải là phương trình bậc hai nữa mà là phương trình bậc ba, bậc bốn,... bậc $n$ thì chúng ta sẽ giải quyết như thế nào? hai ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta hoàn thiện cho cách giải quyết trong các trường hợp này.

Bài toán 7

Tìm công thức tổng quát của dãy số ( $a_n$) với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =2,a_{1} =4,a_{2} =31} \\ {a_{n+1} =4a_{n} +3a_{n-1} -18a_{n-2} } \end{array}\right. n\ge 2 (*)\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
\[G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +a_{3} x^{3} +...\]
\[-4xG(x)= -4a_{0} x-4a_{1} x^{2} -4a_{2} x^{3} -4a_{3} x^{4} -...\]
\[-3x^{2} G(x)= -3a_{0} x^{2} -3a_{1} x^{3} -3a_{2} x^{4} -3a_{3} x^{5} -...\]
\[18x^{3} G(x)= 18a_{0} x^{3} +18a_{1} x^{4} +18a_{2} x^{5} +18a_{3} x^{6} +...\]
Cộng các đẳng thức trên ta có:
\[(1-4x-3x^{2} +18x^{3} )G(x)=2-4x+9x^{2} \]
Do đó $G(x)=\dfrac{2-4x+9x^{2} }{1-4x-3x^{2} +18x^{3} } =\dfrac{2-4x+9x^{2} }{(1+2x)(1-3x)^{2} } $
\[=\dfrac{1}{1+2x} +\dfrac{1}{(1-3x)^{2} } =\sum _{i=0}^{\infty }(-2x)^{i} +\sum _{i=0}^{\infty }(i+1)(3x)^{i} \]
Hệ số của $x^{n} $trong khai triển của $G(x)$là $(-2)^{n} +(n+1)3^{n} $\\
Vậy $a_{n} =(-2)^{n} +(n+1)3^{n} ,n\ge 0$

Bài toán 8
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :\\
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =0,a_{1} =-8,a_{2} =4,a_{3} =-42} \\ {a_{n} =-a_{n-1} +3a_{n-2} +5a_{n-3} +2a_{n-4} } \end{array}\right. n\ge 4 (*)\]

Lời Giải

Đặt $G(x)$là hàm sinh cho dãy ( $a_n$), chúng ta có:\\
\[G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +a_{3} x^{3} +...\]
\[xG(x)= a_{0} x+a_{1} x^{2} +a_{2} x^{3} +a_{3} x^{4} +...\]
\[-3x^{2} G(x)= -3a_{0} x^{2} -3a_{1} x^{3} -3a_{2} x^{4} -3a_{3} x^{5} -...\]
\[-5x^{3} G(x)= -5a_{0} x^{3} -5a_{1} x^{4} -5a_{2} x^{5} -5a_{3} x^{6} -...\]
\[-2x^{4} G(x)= -2a_{0} x^{4} -2a_{1} x^{5} -2a_{2} x^{6} -2a_{3} x^{7} -...\]
Cộng các đẳng thức trên ta có:\\
\[(1+x-3x^{2} -5x^{3} -2x^{4} )G(x)=-8x-4x^{2} -14x^{3} \]
\[\Leftrightarrow G(x)=\frac{-8x-4x^{2} -14x^{3} }{1+x-3x^{2} -5x^{3} -2x^{4} } =\frac{8x+4x^{2} +14x^{3} }{(x+1)^{3} (2x-1)} \]
Phân tích $G(x)=\dfrac{8x+4x^{2} +14x^{3} }{(x+1)^{3} (2x-1)} =\dfrac{A}{x+1} +\dfrac{B}{(x+1)^{2} } +\dfrac{C}{(x+1)^{3} } +\dfrac{D}{2x-1} $
Quy đồng và đồng nhất hệ số ta được $A=6;B=-10;C=6;D=2$\\
Vậy $G(x)=\dfrac{8x+4x^{2} +14x^{3} }{(x+1)^{3} (2x-1)} =\dfrac{6}{1+x} -\dfrac{10}{(1+x)^{2} } +\dfrac{6}{(1+x)^{3} } +\dfrac{2}{2x-1} $
\[G(x)=6\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k} x^{k} -10\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k} (k+1)x^{k} +6\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k} C_{k+2}^{k} x^{k} -2\sum _{k=0}^{\infty }(2 x)^{k} \]
Hệ số của $x^{n} $trong khai triển của G(x) là:
\[a_{n} =6(-1)^{n} -10(-1)^{n} (n+1)+6(-1)^{n} .\dfrac{n^{2} +3n+2}{2} -2^{n+1} \]
\[=(3n^{2} -n+2)(-1)^{n} -2^{n+1} ,n\ge 0\]
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: $a_{n} =(3n^{2} -n+2)(-1)^{n} -2^{n+1} ,n\ge 0$\\

Sau đây là một số bài toán các bạn tự luyện :

Bài 1:
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =0,a_{1} =1} \\ {a_{n} -4a_{n-2} =0} \end{array}\right. n\ge 2\]
Bài 2:
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =2,a_{1} =2} \\ {a_{n} -6a_{n-1} +5a_{n-2} =0} \end{array}\right. n\ge 2\]
Bài 3:
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :\\
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =2,a_{1} =6} \\ {a_{n} -7a_{n-1} +10a_{n-2} =2^{n} } \end{array}\right. n\ge 2\]
Bài 4:
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =3,a_{1} =1} \\ {a_{n} -2a_{n-1} -3a_{n-2} =0} \end{array}\right. n\ge 2\]
Bài 5:
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =0,a_{1} =1,a_{2} =2} \\ {2a_{n} =a_{n-1} +2a_{n-2} -a_{n-3} } \end{array}\right. n\ge 3\]
\Bài 6:
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a_{1} =1} \\ {a_{n} =3a_{n-1} -2a_{n-2} +2} \end{array}\right. n\ge 2\]

Các bạn thân mến như vậy là bài viết đã kết thúc ở đây. Hi vọng thông qua bài viết nhỏ này các bạn sẽ có thêm một công cụ hữu hiệu trong việc tìm công thức tổng quát của dãy số.Bài viết này cũng chính là một trong hai bài viết cuối của batigoal viết dành tặng cho diễn đàn. Thời gian tới mình có khá nhiều việc bận nên thay cho lời tạm biệt mình viết tặng diễn đàn một kĩ thuật nhỏ về chứng minh bất đẳng thức [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]. Chúc diễn đàn ngày càng phát triển và hẹn gặp lại diễn đàn vào một ngày không xa.

Bạn đối chiếu mẫu của hàm sinh với ptr đặc trưng để cho thấy lập luận trên có vấn đề.

Vấn đề đặt ra: Những dạng nào thì ta có thể dùng hàm sinh? Và hàm sinh giải quyết vấn đề gì? Thật sự những bài toán bạn đưa ra thì ptr đặc trưng đã giải quyết hết rồi.

----------------

Một bài tập dùng hàm sinh:
Cho $x_0=1,x_0x_n+ \sum_{i=1}^{n} x_ix_{n-i}=1, \forall n $. Tìm công thức cho $x_n. $

Chắc bạn chưa hiểu ý batigoal rồi.Bạn hãy đọc những comment trên, đây chỉ là 1 cách giải quyết khác tìm công thức tổng quát của dãy số chứ không phải là một cách giải mới. Giống như tính tích phân có những bài ta làm trực tiếp được nhưng có những bài ta lại có cách khác thông qua đổi biến số. Chẳng qua chỉ là nhiều cách giải cho 1 bài toán thôi :D .
Việc tìm tòi lời giải khác cho một bài toán cũng có ích nhiều cho người học toán.:D

Ví dụ như bài toán này Nếu chúng ta thay đổi một chút như sau:
Bài toán 8
Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$) với :\\
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =0,a_{1} =-8,a_{2} =4,a_{3} =-42} \\ {a_{n} =-a_{n-1} +3a_{n-2} +5a_{n-3} +2a_{n-4}+4n } \end{array}\right. n\ge 4 (*)\] Thì rõ ràng cách làm dùng hàm sinh hiệu quả hơn rồi. Bạn hãy thử làm theo cả 2 cách sẽ thấy sự khác biệt. Tuy nhiên làm những bài đơn giản như ví dụ 1,ví dụ 2 thì làm bằng PT vi phân đặc trưng lại hiệu quả hơn. Vậy nên mỗi cách lại có ưu điểm riêng. Chính vì vậy khai thác bài toán theo nhiều cách, đọc và cảm nhận để mở rộng hơn mình thấy cũng là rất hay.