Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Việt Nam và IMO (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=144)
-   -   Đề thi chọn HSG QG VN 2009 (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=7731)

anhnguyen2311 25-02-2009 11:45 AM

Đề thi chọn HSG QG VN 2009
 
1) (4đ)Giải hệ pt
$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{y}^ {2}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}
\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9} $
2) (5đ)Cho dãy số
${x}_{1}=\frac{1}{2} $
${x}_{n}=\frac{\sqrt{{{x}_{n-1}}^{2}+4{x}_{n-1}}+{x}_{n-1}}{2} $
Lập dãy ${y}_{n}\sum_{1}^{n}\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}} $
Chứng minh dãy (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
3) (5đ)Cho 2 điểm cố định A, B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho góc ACB=a (0<a<180) cho trước, Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống 3 cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F
AI và BI cắt EF lần lượt tại M,N.
a) CM MN không đổi
b) CM đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua 1 điểm cố định
4) (3đ) Cho a,b,c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương, a^n+b^n+c^n
là số nguyên. CM tồn tại 3 số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là các nghiệm của pt x^3+px^2+qx+r=0
5) (3đ) Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn /a-b/={1,n}
(chú ý tập rỗng thỏa mãn Đk trên)

anhnguyen2311 25-02-2009 12:07 PM

Câu 1 ra $x=y=\frac{81+\sqrt{5913}}{324} $
$x=y=\frac{81-\sqrt{5913}}{324} $
Câu 2 ra 6
Câu 3
a) MN=cos(a/2)AB ko đổi
b) (DMN) đi qua trung điểm AB
mình làm dc nhiu đó, hix

hoanghung 25-02-2009 12:08 PM

Trích:

Nguyên văn bởi anhnguyen2311 (Post 33952)
1) (4đ)Giải hệ pt
$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{y}^ {2}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}
\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9} $
2) (5đ)Cho dãy số
${x}_{1}=\frac{1}{2} $
${x}_{n}=\frac{\sqrt{{{x}_{n-1}}^{2}+4{x}_{n-1}}+{x}_{n-1}}{2} $
Lập dãy ${y}_{n}\sum_{1}^{n}\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}} $
Chứng minh dãy (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
3) (5đ)Cho 2 điểm cố định A, B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho góc ACB=a (0<a<180) cho trước, Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống 3 cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F
AI và BI cắt EF lần lượt tại M,N.
a) CM MN không đổi
b) CM đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua 1 điểm cố định
4) (3đ) Cho a,b,c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương, a^n+b^n+c^n
là số nguyên. CM tồn tại 3 số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là các nghiệm của pt x^3+px^2+qx+r=0
5) (3đ) Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn /a-b/={1,n}
(chú ý tập rỗng thỏa mãn Đk trên)

Tình hinh các đội tuyển thế nào nhi? Mọi người cho ý kiến đi chứ!

nbkschool 25-02-2009 12:19 PM

Bài 1 em giải như sau ko biết đúng ko :
Xét trường hợp tầm thường x=y=0 ->ko thỏa.
Đặt $x^2=e^a,y^2=e^b $thì từ đkxđ cho pt (2) thì $0 < e^a,e^b \leq \frac{1}{4} $
Đặt $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2e^x}} $
$f ' '(x)=2.e^x[\frac{3}{4}.(1+2e^x)^{\frac{-5}{2}} - \frac{1}{2}.(1+ 2e^x)^{\frac{-3}{2}}] $
Dễ thấy $f ' '(x) \geq 0 $ với $0 < e^x \leq \frac{1}{4} $ từ đó áp dụng BĐT Jensen ta có $f(a)+f(b) \geq 2.f(\frac{a+b}{2})=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}} $.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y $ từ đó thế vào pt (2) dễ dàng suy ra nghiệm.

Bài 2:
Biến đổi cái công thức truy hồi ra được:$x_n^2-x_nx_{n-1}=x_{n-1} $ ->$\frac{x_n^2}{x_{n-1}}-x_n=1 $
$y_n=\frac{1}{x_1^2}+\sum^n_{i=2} \frac{\frac{x_n^2}{x_{n-1}}-x_n}{x_n^2}=\frac{1}{x_1}^2+\sum^n_{i=2} (\frac{1}{x_{n-1}}-\frac{1}{x_n})=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_n} $ từ đây suy ra $lim y_n=6 $

Math10T 25-02-2009 12:23 PM

Bạn anhnguyen viết rõ đề bài 5 được không?Mình đọc không rõ dề.

Math10T 25-02-2009 12:58 PM

Hình như bên KHTN hầu hết là làm được 3,5-4 bâi,nhưng rất tiếc không ai làm hoàn chỉnh cả.

duca1pbc 25-02-2009 01:05 PM

Trích:

Nguyên văn bởi anhnguyen2311 (Post 33952)
1) (4đ)Giải hệ pt
$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{y}^ {2}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}
\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9} $
2) (5đ)Cho dãy số
${x}_{1}=\frac{1}{2} $
${x}_{n}=\frac{\sqrt{{{x}_{n-1}}^{2}+4{x}_{n-1}}+{x}_{n-1}}{2} $
Lập dãy ${y}_{n}\sum_{1}^{n}\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}} $
Chứng minh dãy (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
3) (5đ)Cho 2 điểm cố định A, B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho góc ACB=a (0<a<180) cho trước, Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống 3 cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F
AI và BI cắt EF lần lượt tại M,N.
a) CM MN không đổi
b) CM đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua 1 điểm cố định
4) (3đ) Cho a,b,c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương, a^n+b^n+c^n
là số nguyên. CM tồn tại 3 số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là các nghiệm của pt x^3+px^2+qx+r=0
5) (3đ) Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn /a-b/={1,n}
(chú ý tập rỗng thỏa mãn Đk trên)

Bài 1: $x=y=\frac{1 \pm \sqrt{\frac{73}{81}}}{4} $

Bài 2: $lim y_n =6 $

Bài 3: $MN = ABsin\frac{\alpha}{2} $ , $(DMN) $ đi qua trung điểm AB

Bài 4: Mình xét hơi lằng nhằng 1 chút.Nhưng ko dùng tổng quát mà chỉ xét đến n=6

Bài 5: $2^{2n-2}+2^{n-2}+1 $ (rất nhiều khả năng là sai :D)

Tình hình các đội khác thế nào nhỉ? Nghệ An làm bèo bọt quá :|

lang tu 25-02-2009 01:09 PM

Trích:

Nguyên văn bởi anhnguyen2311 (Post 33956)
Câu 1 ra $x=y=\frac{81+\sqrt{5913}}{324} $
$x=y=\frac{81-\sqrt{5913}}{324} $
Câu 2 ra 6
Câu 3
a) MN=cos(a/2)AB ko đổi
b) (DMN) đi qua trung điểm AB
mình làm dc nhiu đó, hix

Mình cũng chỉ là được có vậy.Random thêm bài 4 nữa nhưng hình như sai rôi.
Đội Quảng Ninh được 1 người làm 5/5. 1 người 3,5/5. 1 người 3/5. 1 người 2.5/5 còn lại là 2/5.

Poincare 25-02-2009 01:09 PM

Type again:

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2008-2009.

Bài 1. (4điểm)
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {1 + 2x^2 } }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2y^2 } }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + 2xy} }} \\\sqrt {x(1 - 2x)} + \sqrt {y(1 - 2y)} = \frac{2}{9} \\\end{array} \right. $

Bài 2. (5điểm)
Cho dãy số (x_n) xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}x_1 = \frac{1}{2} \\x_n = \frac{{\sqrt {x_{n - 1} ^2 + 4x_{n - 1} } + x_{n - 1} }}{2} \\\end{array} \right. $

Xét dãy số ${y}_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}} $. Chứng minh dãy $(y_n) $ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.


Bài 3. (5 điểm)
Cho 2 điểm cố định $A, B $ và điểm $C $ di động trên mặt phẳng sao cho $\hat{ACB}=a \ (0<a<180) $ không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp $I $ của tam giác $ABC $ xuống ba cạnh $AB,\ BC,\ CA $ lần lượt là $D,\ E,\ F $. $AI $ và $BI $ cắt $EF $ lần lượt tại $M,N $.
a) Chứng minh độ dài $MN $ không đổi.
b) CM đường tròn $(DMN) $ luôn đi qua một điểm cố định.


Bài 4. (3điểm)
Cho $a,\ b,\ c $ là các số thực. Với mỗi $n $ nguyên dương, $a^n+b^n+c^n $
là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên $p,q,r $ sao cho $a,b,c $ là các nghiệm của pt bậc ba $x^3+px^2+qx+r=0 $.


Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp $S $ gồm $2n $ số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp $T $ sao cho trong $T $ không có 2 phần tử $a,b $ nào thỏa mãn $|a-b| \in \left\{ {1;n} \right\} $
(chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên)

lang tu 25-02-2009 01:10 PM

Ai post rõ lời giải bài 4 và 5 được ko ạ.

duca1pbc 25-02-2009 01:10 PM

Đề năm nay nói chung là ko ghê gớm như 2 năm trước.Nếu làm trọn vẹn 3 bài đầu là đậu thôi (nên tỉ lệ đậu chắc sẽ cao hơn nhiều).

Còn bài 5 khó quá.Nghĩ mãi chẳng ra.Ngồi trong phòng mà cào cả ruột (:|

Math10T 25-02-2009 01:17 PM

Thế có lẽ DHKHTN là làm tốt nhất(mặc dù không ai làm 5 bài nhưng làm kém nhất là 3,5 bài).Nhưng về phần điểm thì cũng không chắc được,cú như năm ngoái nhiều người làm tốt nhưng điểm vẫn cứ kém.
==============
ah,còn tình hình làm bài của đội Thanh Hóa thế nào?Có bác nào biết không.

duca1pbc 25-02-2009 01:28 PM

Mới nhận đc thông tin,Thắng và Duy (Tổng hợp) đều làm 4.Trong đó Duy bỏ bài 5 còn Thắng bỏ bài 3
Tiếc cho thằng Thắng quá.1 đời oanh liệt cuối cùng chết vì Hình........

conan236 25-02-2009 02:31 PM

Tớ thì cũng tàm tạm, bài 1 sai cha kết luận điên đầu, còn 2,3 thì ok.
Bài 4,5 thì chắc mỗi cái một tí :hornytoro:
Hi vọng KK.
Đà Nẵng tụi em chắc được 1 cậu 12 đúng chóc 4 bài :dreamer:
Bài 5 cũng ko khó lắm :D
Chỉ tiếc là ko kịp h nếu ko thì chết với em :hornytoro:

anhnguyen2311 25-02-2009 02:54 PM

Tiếc ghê, bài 4 thế mà để vuột, cha chả là tức, coi như đc 3 bài đầu, chắc còn đc KK, thằng bạn tớ nó xơi hình như gọn hơ, còn bài hình chưa rớ vô, năm nay chắc trường có giải, hehe, đề có phần đã dễ hơn xưa thì phải, hy vọng năm sau nó dễ nữa, hehe....


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:27 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 21.10 k/22.28 k (5.30%)]