Đề kiểm tra đội tuyển khối 10 trường chuyên LTV, Đồng Nai
 

Câu 1.
Giải phương trình:$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{3x}+2\sqrt{y}=4& & \\
\sqrt[3]{\frac{x}{y}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x}}=\sqrt[3]{2(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})}& &
\end{matrix}\right.$
Câu 2.
Cho n là số nguyên dương bé nhất sao cho tổng bình phương tất cả ước nguyên dương của $n$(kể cả $1$ và $n$) bằng $(n+3)^2$
1)Chứng minh rằng $n$ có không quá $6$ ước nguyên dương phân biệt(kể cả $1$ và $n$)
2)Tìm $n$
Câu 3.
Cho tam giác ABC,đường phân giác trong góc C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường trung trực đoạn BC,AC lần lượt tại R,P,Q.Gọi S,T lần lượt là trung điểm của BC,CA. CMR:hai tam giác RQT và RPS có cùng diện tích.
Câu 4.
Cho các số thực dương $a,b,c$.CMR:
$\frac{2}{(a+b)^{2}}+\frac{2}{(b+c)^{2}}+\frac{2}{ (c+a)^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{ 2}+ab}$
Câu 5.
Cho 23 số nguyên dương $a_{1},a_{2},...,a_{23}$.Biết rằng khi bỏ đi một số bất kì trong $23$ số đó thì $22$ số còn lại có thể chia thành hai nhóm,mỗi nhóm gồm $11$ số mà tổng các số trong $2$ nhóm đó bằng nhau.CMR $23$ số đã cho bẳng nhau.
Câu 6.
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn
$(x-16)P(2x)=16(x-1)P(x)$

Câu 1: Đặt $t=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}; u=\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}$ với $x,y \ge 0 \Rightarrow t,u\ge 0$
Phương trình (2) tương đương:
$t+u=\sqrt[3]{2t^3+2u^3+4}$
$\Rightarrow t^3+u^3+4=3(u+t)$ (do $ut=1$)
Theo bđt AM-GM ta có: $t^3+1+1\ge 3t, u^3+1+1\ge 3u$
$\Rightarrow t^3+u^3+4\ge 3(t+u)$
Dấu "=" xảy ra khi $t=u \Rightarrow x=y=(\dfrac{4}{\sqrt{3}+2})^2$
Câu 6: Ta thấy rằng $P(2),P(4),P(8),P(16)=0$
$\Rightarrow P(x)=(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)G(x)$
Thay lại vào đề ta có:
$(x-16)(2x-2)(2x-4)(2x-8)(2x-16)G(2x)=16(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)G(x)$
$\Rightarrow G(2x)=G(x) \forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow G(x)=a=const$
Vậy $P(x)=a(x-2)(x-4)(x-8)(x-16) \forall x\in\mathbb{R}$
Thử lại thấy đúng

Ta biến đổi BĐT tương đương với :
$\sum\frac{(a-b)^2c(a+b)[c(a+b+c) +a^2+b^2 -ab]}{(a^2+bc)(b^2+ac)(b+c)^2(c+a)^2} \ge 0 $.
Ta có đpcm!

Mình còn 1 cách khác.

Câu này ta chỉ cần sử dụng bất đẳng thức này là ok:
$$ \dfrac{1}{(a+b)^2} + \dfrac{1}{(b+c)^2} \ge \dfrac{1}{b^2+ac}$$ là ok.

Thật vậy:
$$\dfrac{1}{(a+b)^2} + \dfrac{1}{(b+c)^2} \ge \dfrac{1}{(b^2+ac)(1+\dfrac{a}{c})} + \dfrac{1}{(b^2+ac)(1+\dfrac{c}{a})} = \dfrac{a+c}{(b^2+ac)(a+c)} = \dfrac{1}{b^2+ac}$$
Tương tự ta có đpcm :-h

Cho em spam một chút ạ:các bài còn lại em cũng chưa giải được mong các ace giải hộ để lấy kinh nghiệm ạ!

Câu 2 sử dụng đánh giá:nếu $n$ có các ước $d_1, d_2,...,d_k$ thì $d_id_{k+1-i}=n$
Câu hình chính là IMO 2007, ta có $OP=OQ$, suy ra $PR.PC=QR.QC$(phương tích của 2 điểm đối với đường tròn là như nhau) rồi dùng công thức sin về diện tích là xong!
------------------------------
Mọi người trình bày thử lời giải bằng Chebyshev cho câu bất đẳng thức được không ạ?

bạn có thể giải rõ không?

Nhận xét: 23 số đã cho đồng dư mod 2. Giả sử $a_i=2k_i+r$. Dễ thấy bộ $(k_1;k_2;..)$ cũng thõa mãn, nên các số $k_i$ phải đồng dư mod 2. Lập luận tương tự ta lại đc 1 bộ mới thõa. Quá trình này ko thễ kéo dài mãi được, nên 23 số đã cho bằng nhau.