Diễn Đàn MathScope - Tìm hiểu sâu thêm các bất đẳng thức trong tam giác

Tìm hiểu sâu thêm các bất đẳng thức trong tam giác

Trong chương trình toán phổ thông,lượng giác đóng một vai trò quan trọng và thường xuất hiện trong các kì thi.Với nhiều bạn học sinh thì lượng giác không khó,chỉ cần nhớ các công thức biến đổi lượng giác là được và cũng chẳng có nhiều điều cần tìm hiểu thêm khi mà đã có quá nhiều sách xuất bản viết về nó.Tuy nhiên,thực tế lượng giác còn rất nhiều vấn đề thú vị để khám phá.Trong bài viết này xin được giới thiệu với các bạn một số hướng suy nghĩ về vấn đề này.

Tổng quát hóa bài toán
Chúng ta biết rằng:Trong tam giác $ ABC $ bất kỳ các bất đẳng thức sau luôn xảy ra:
$$ \sin A+\sin B+\sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $$
$$ \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2} \le \frac{3}{2} $$
$$ \sin^2 \frac{A}{2}+\sin^2 \frac{B}{2}+\sin^2 \frac{C}{2} \ge \frac{3}{4} $$
$$ \cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2} \ge \sin A+\sin B+\sin C $$
$$ \tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2} \ge \sqrt{3} $$
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right) \ge \sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A $$

Việc chứng minh các kết quả này có lẽ không khó khi chỉ cần sử dụng các công thức lượng giác và các bất đẳng thức đại số cơ bản.Vậy còn điều gì để chúng ta cần suy nghĩ thêm?
Thông thường khi chúng ta chứng minh xong một kết quả nào đó hướng chúng ta thường suy nghĩ đầu tiên là tìm cách tổng quát bài toán.Vậy các bạn đã từng đặt câu hỏi là với những giá trị nào của $ k $ thì các bất đẳng thức sau đúng chưa?

$$ \sin^k A+\sin^k B+\sin^k C \le 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k $$
$$ \sin^k \frac{A}{2}+\sin^k \frac{B}{2}+\sin^k \frac{C}{2} \le \frac{3}{2^k} $$
$$ \sin^k \frac{A}{2}+\sin^k \frac{B}{2}+\sin^k \frac{C}{2} \ge \frac{3}{2^k} $$
$$ \cos^k \frac{A}{2}+\cos^k \frac{B}{2}+\cos^k \frac{C}{2} \ge \sin^k A+\sin^k B+\sin^k C $$
$$ \tan^k \frac{A}{2}+\tan^k \frac{B}{2}+\tan^k \frac{C}{2} \ge 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^k $$
$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k \left(\sin^k A+\sin^k B+\sin^k C\right) \ge \sin^k A\sin^k B+\sin^k B\sin^k C+\sin^k C\sin^k A $$
Đây là những bài toán rất khó.Điều này có thể dễ hiểu vì trong các phương pháp chứng bất đẳng thức lượng giác chúng ta chưa thấy có một phương pháp nào xử lí được các kết quả tổng quát này.Sau đây là đáp số cho các bài toán này,mời các bạn thử sức:
Bài toán 1
$$ \sin^k A+\sin^k B+\sin^k C \le 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k , \left( 0 \le k \le \frac{\ln9-\ln4}{\ln4-\ln3}\right) $$
Bài toán 2
$$ \sin^k \frac{A}{2}+\sin^k \frac{B}{2}+\sin^k \frac{C}{2} \le \frac{3}{2^k} , \left (0 \le k \le \frac{\ln9-\ln4}{\ln2}\right) $$
Bài toán 3
$$ \sin^k \frac{A}{2}+\sin^k \frac{B}{2}+\sin^k \frac{C}{2} \ge \frac{3}{2^k} , \left(k \ge \frac{\ln3}{\ln2}\right) $$
Bài toán 4
$$ \cos^k \frac{A}{2}+\cos^k \frac{B}{2}+\cos^k \frac{C}{2} \ge \sin^k A+\sin^k B+\sin^k C , (0 \le k \le 2) $$
Bài toán 5
$$ \tan^k \frac{A}{2}+\tan^k \frac{B}{2}+\tan^k \frac{C}{2} \ge 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^k , \left( k \ge \frac{\ln9-\ln4}{\ln3}\right) $$
Bài toán 6
$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k \left(\sin^k A+\sin^k B+\sin^k C\right) \ge \sin^k A\sin^k B+\sin^k B\sin^k C+\sin^k C\sin^k A , \left(0 \le k \le \frac{\ln4}{\ln4-\ln3}\right) $$

Xây dựng từ những bất đẳng thức đại số sai

Hướng suy nghĩ này,đúng như tên gọi của nó "rất ngộ nghĩnh" nhưng quả thực có một điều rất thú vị là chúng ta có thể dùng những "bất đẳng thức đại số sai" để sáng tạo các bất đẳng thức mới trong tam giác.Hãy cùng xem ví dụ sau:
Với các số thực dương $ x,y,z $ bất đẳng sau không đúng:
$$ \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x} \ge \frac{3}{2} $$
Thật vậy,cho $ x=3 , y=1 , z=2 $ thì $ VT=\frac{89}{60} \le \frac{3}{2} $
Nhưng điều này thì liên quan gì với việc sáng tạo các bất đẳng thức mới trong tam giác?
Đầu tiên chúng ta thấy rằng muốn bất đẳng thức đại số trên đúng chúng ta phải tăng các giá trị của tử hoặc giảm các giá trị của mẫu.Điều này có thể thực hiện được nhưng nhiều khả năng sẽ làm mất đi vẻ đẹp của bất đẳng thức.Hãy nhớ lại rằng trong tam giác chúng ta có đánh giá quen thuộc sau: $ m_a \ge l_a \ge h_a $.(Trong đó $ m_a , l_a , h_a $ thứ tự là độ dài các đường trung tuyến,phân giác và đường cao xuất phát từ đỉnh $ A $ của tam giác $ ABC $).Sử dụng ý tưởng trên,chúng ta mạo hiểm đưa ra đánh giá sau:
$$ \frac{m_a}{l_a+l_b}+\frac{m_b}{l_b+l_c}+\frac{m_c} {l_c+l_a} \ge \frac{3}{2}$$
Công việc còn lại là kiểm tra tính đúng sai của bất đẳng thức này.Thật may mắn,đây là một bất đẳng thức đúng.Càng thú vị hơn là để chứng minh bất đẳng thức này chúng ta không thể dùng trực tiếp các công thức trung tuyến,phân giác được nếu không bất đẳng thức sẽ toàn căn là căn và sẽ không có tia hi vọng nào để chứng minh.Như vậy dù có vẻ bề ngoài rất đơn giản nhưng bất đẳng thức này lại tạo cho chúng ta nhiều thử thách thú vị .Về điều này có lẽ bất đẳng thức hình đã "nhỉnh hơn" bất đẳng thức đại số một phần.Việc chứng minh bất đẳng thức này,xin mời các bạn suy nghĩ thêm.
Sử dụng ý tưởng này với các bất đẳng thức đại số khác,mình đã chứng minh được các kết quả sau:

Bài toán 7
$$ \frac{m_a}{l_a+l_b}+\frac{m_b}{l_b+l_c}+\frac{m_c} {l_c+l_a} \ge \frac{3}{2} \ge \frac{l_a}{m_a+m_b}+\frac{l_b}{m_b+m_c}+\frac{l_c} {m_c+m_a} $$
Bài toán 8
$$ \frac{l_a}{l_a+h_b}+\frac{l_b}{l_b+h_c}+\frac{l_c} {l_c+h_a} \ge \frac{3}{2} \ge \frac{h_a}{l_a+h_b}+\frac{h_b}{l_b+h_c}+\frac{h_c} {l_c+h_a} $$
Bài toán 9
$$ \frac{1}{h_ah_b}+\frac{1}{h_bh_c}+\frac{1}{h_ch_a} \ge \frac{1}{l_a^2}+\frac{1}{l_b^2}+\frac{1}{l_c^2} \ge \frac{9}{h_a^{2}+h_b^{2}+h_c^{2}} \ge \frac{1}{m_a^2}+\frac{1}{m_b^2}+\frac{1}{m_c^2} \ge \frac{9}{l_a^2+l_b^2+l_c^2} $$
Bài toán 10
$$ \sqrt{2}\left(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2} \right) \ge \sqrt{\sin \frac{A}{2}}+\sqrt{\sin \frac{B}{2}}+\sqrt{\sin \frac{C}{2}} $$
$$ \sqrt {\frac{2}{3}}\left(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2} \right) \ge \sqrt{\sin \frac{A}{2}}+\sqrt{\sin \frac{B}{2}}+\sqrt{\sin \frac{C}{2}} $$
Các bạn có thể xem thêm tại: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Và còn rất nhiều kết quả thú vị nữa,xin được giới thiệu trong một bài viết khác.Bây giờ các bạn hãy sáng tạo những kết quả mới nào!!!!