Anh 1996
 

Tìm tất cả những nghiệm nguyên không âm $x,y,z $ của phương trình
$2^x+3^y=z^2 $
:nemoflow:

gợi ý :
$x = 2k $ ,đưa về $(z-2^{k} )(z+2^{k}) =3^{y} $
nên $z - 2^{k} = 3^{t} , z + 2^{k} = 3^{m} $

hì bạn gợi ý thì ai giải chứ
bạn giải luôn đi, cho mọi người xem có mất mát gì đâu
thanks!

em làm không biết có đúng không nữa nếu sai mong mấy bác đưng chửi nha
ta có : $2^x+3^y=z^2 $
${\rightarrow}z=2k+1 $với $k{\in}N $
do đó : $z^2{\equiv}1 (mod 4) $
nếu $y=2l+1 $ thì $3^y{\equiv}3{\rightarrow}2^x=z^2-3^y{\equiv}1-3=-2(mod 4) $
${\rightarrow} $mâu thuẫn
do đó $y=2l (l{\in}N) $
${\rightarrow}4|x{\rightarrow}x{\ge}2 $
tiếp tục chứng minh $x=2h $ với $h{\in}N $ bằng cách xét đòng dư thôi
$(1){\leftrightarrow}(z-2^h)(z+2^h)=3^y $
tới đây thì đơn giản hơn nhiều rồi nha
mình buồn ngủ quá nên viết hơi ngắn gọn sorry nha:burnjossstick:
xin lỗi quên xét thêm x=0 sorry nha:sad:

Xét thiếu nghiệm rồi.
x=0,y=1,z=2 (z có thể chẵn)

Xét các trường hợp sau:
$ x=0 => z^2-3^y=1 <=> (z-1)(z+1)=3^y $
$ y=0 => z^2-2^x=1 <=> (z-1)(z+1)=2^x $
Xét $ xy \neq 0 $
Ta có : $ 2 \equiv -1 (mod 3) => 2^x+3^y = (-1)^x (mod 3 ) <=> z^2 \equiv (-1)^x (mod 3 ) $ => $ x $ chẵn
Thay $ x=2k
=> (z-x^k)(z+x^k)=3^y $ Đến đây dễ rùi