Một số đề chọn đội dự tuyển 30-4 của TPHCM
 

Mình xin gửi đề chọn đội tuyển 30-4 của một số trường tại TPHCM trong file đính kèm.

Dưới đây là một số câu chọn lọc:

Bài 1. (câu 4, PTNK) Cho $S$ là tập hợp khác rỗng. Ký hiệu $P(S)$ là tập tất cả các tập con của $S.$ Giả sử ánh xạ $f: P(S) \rightarrow P(S)$ có tính chất: với mọi $X,Y \in P(S)$, nếu $X \subset Y$ thì $f(X) \subset f(Y)$. Chứng minh rằng có tập $T \in P(S)$ sao cho $f(T) = T.$

Bài 2. (câu 3, chuyên Trần Đại Nghĩa) Cho tam giác $ABC$ có $(I)$ là đường tròn nội tiếp và $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt ở $D,E,F.$ Giả sử $BI,CI$ cắt $EF$ tại $M,N$.

a) Chứng minh rằng $B,C,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $P$ là giao điểm của $CM,BN$ và $Q$ là giao điểm của $AI,EF.$ Hạ $DL$ vuông góc $EF$. Chứng minh rằng $PQ$ chia đôi $DL.$

Bài 3. (câu 2, chuyên Lê Hồng Phong) Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $abc = 1.$ Chứng minh rằng:

a) $2 + \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \le a+b+c.$

b) $\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1 )^2} \ge \max \{\frac{1}{ab+1} + \frac{1}{(c+1)^2}, \frac{3}{4}, \}.$

Đặt $A_1=f(\emptyset)$, $A_2=f(A_1)$, $A_3=f(A_2)$,.... Do $\emptyset\subset A_1$ nên $A_1\subset A_2$, $A_2\subset A_3$, ... Hay ta có dãy vô hạn các tập hợp
$$\emptyset\subset A_1\subset A_2\subset A_3 ....\subset A_n\subset .... \subset S.$$
Do $S$ là tập hữu hạn nên dãy trên phải dừng, tức là tồn tại $m$ sao cho $A_m=A_{m+1}=f(A_m)$.

Nếu đề bài không nói gì thêm, ta hiểu rằng $S$ là một tập hợp tổng quát, nên không thể cho rằng $S$ hữu hạn được.

Easy =P~
a, Áp dụng AM-GM ta có $ab+bc+ca\ge 3$
Do đó,
$LHS\le 2\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}+\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2 }{3}}\le \sqrt{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=a+b+c$ (Đúng theo AM-GM)
b, Ta chứng minh 1 bổ đề :
$$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\ge \frac{1}{ab+1}$$
$$\Leftrightarrow ab(a-b)^2+(ab-1)^2\ge 0$$ ( đúng )
Suy ra :
$$LHS\ge \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{(c+1)^2}=\frac{c^2+c+1}{(c +1)^2}=\frac{3}{4}+\frac{(c-1)^2}{4(c+1)^2}\ge \frac{3}{4}$$
Hoàn tất chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 .