Giả đáp bài tập Phép tính vi phân trên không gian hữu hạn chiều
 

Mọi người giúp mình mấy bài này với.


Bài 1. Viết khai triển Taylor đến bậc k trong lân cận của (0,0) và tính đạo hàm bậc 3, $f^{(3)}(0,0)(x,y)^3$
a. $f(x,y)=\left ( x\sin\left ( x^2-xy \right ),e^{xy^2} \right )$
b. $ f(x,y)=\left ( y\cos x^2,\sin xy,xe^{xy)} \right )$
Bài 2. Cho $f:{{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}$, $f\in {{C}^{k+1}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$. Giả sử tồn tại hằng số M sao cho với mọi $x\in {{\mathbb{R}}^{n}}$,
$\left| f\left( x \right) \right|\le M\left\| x \right\|_{2}^{k+1}$
Chứng minh rằng $1\le r\le k$ đạo hàm bậc r, ${{f}^{\left( r \right)}}\left( {{0}_{{{\mathbb{R}}^{n}}}} \right)={{0}_{{{L}^{r}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}},\mathbb{R} \right)}}$.
Bài 3. Cho $f:{{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{p}}$, $f\in {{C}^{k+1}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$. Giả sử tồn tại hằng số M sao cho với mọi $x\in {{\mathbb{R}}^{n}}$,
${{\left\| f\left( x \right) \right\|}_{2}}\le M\left\| x \right\|_{2}^{k+1}$
Chứng minh rằng $1\le r\le k$ đạo hàm bậc r, ${{f}^{\left( r \right)}}\left( {{0}_{{{\mathbb{R}}^{n}}}} \right)={{0}_{{{L}^{r}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}},{{\mathbb{R}}^{p}} \right)}}$.