Một số thắc mắc trong sách lý thuyết số đại số của Jurgen Neukirch.
 

Có một chỗ này trong sách lý thuyết số đại số của Jurgen Neukirch mà tác giả nói là "automatically" nhưng mình không tự giải tích được tại sao:

Cho A là một miền nguyên với trường các thương K, L|K là một mở rộng tách được hữu hạn (mình không chắc có cần thiết trong trường hợp này). A đóng nguyên trong K và B là bao đóng nguyên của A trong L. Một hệ các phần tử $\omega_1,...,\omega_n \in B$ sao cho mỗi $b\in B$ có thể viết được duy nhất dưới dạng:
$$b=a_1 \omega_1+...+a_n\omega_n$$
với $a_i \in A$ được gọi là một cơ sở nguyên của B trên A. Một cơ sở như vậy tự động là một cơ sở của L|K(mình hiểu là một cơ sở của L-không gian vector K).

Chỗ bôi đen trên là chỗ mình không hiểu.

Mình không thạo gì mấy món lý thuyết số vành vèo này lắm. Nhưng mà mình nghĩ bạn có thể chứng minh $L$ là trường các thương của vành $B,$ từ đó có thể chứng minh được điều bạn thắc mắc ở phần tô đen.

Bạn dùng tính chất: với mọi phần tử $b$ của L, tồn tại $a \in A$ sao cho $ab \in B$.

Giả thiết $L/K$ là mở rộng tách được (cộng thêm điều kiện $A$ là vành Noether) để đảm bảo rằng $B$ là một $A$-module hữu hạn sinh.