Em cảm ơn anh Traum. về Plotkin Bound thì có thể tham khảo ở [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]. Áp dụng theo định lí 3 ở link trên thì ta được đáp án cho bài toán 47 là $2^{n+1}$. Về chứng minh định lí 3 thì ta có thể xem thêm tại [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]. Không biết bài này có thể giải bằng toán sơ cấp được không nhỉ :beated: .

Xét các dãy có vị trí đầu tiên là 0, bỏ đi vị trí đầu tiên thì ta thu được các dãy có độ dài 2d-1và hai dãy bất kì có khoảng cách ko ít hơn d. Áp dụng plotkin bound cho trường hợp i ( d chẵn, 2d =n>n-1, chứng minh bằng double couting) ta có số dãy kiểu này ko quá 2d/(2d-n+1)=n. Vậy có ko quá n dãy độ dài n và bắt đầu bằng 0. Tương tự có ko quá n dãy độ dài n và bắt đầu bằng 1. Tổng cộng có ko quá 2n dãy.

Chỉ còn 5 ngày nữa thôi là kỳ thi TST 2014 sẽ chính thức diễn ra. Xin gửi tiếp một số bài để mọi người tham khảo. :)

Bài 49.
Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp trong đường tròn $(O).$ Điểm $M$ di chuyển trên đường tròn $(O)$ và không trùng với các đỉnh của tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $OA,OB,OC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
a. Điểm $I$ nằm trên đường thẳng Simson của $M$ đối với tam giác $ABC.$
b. Điểm $I$ di chuyển trên một đường cố định khi $M$ di chuyển trên $(O)$.

Bài 50.
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $s(n)$ là số các số nguyên dương $x$ không vượt quá $n$ và thỏa mãn điều kiện ${{2}^{x}}+1$ chia hết cho $x.$ Chứng minh rằng với mỗi số thực dương $k$ nhỏ tùy ý, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $$2\ln (n)<s(n)<kn.$$ Bài 51.
Xác định tất cả các hàm số $f:{{\mathbb{Z}}^{+}}\to {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thỏa mãn điều kiện
$${{f}^{2}}(n)<nf(n+1)\le 2{{n}^{2}}f\left( \left[ \frac{n+1}{2} \right] \right)$$ với mọi $n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.

Bài 52.
Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp trong đường tròn $(O).$ Xét tam giác $DEF$ có $D,E,F$ lần lượt thuộc trung trực của $BC,CA,AB$, nằm ngoài tam giác $ABC$ và nhận $O$ là trọng tâm. Với mỗi góc $\alpha $, giả sử ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ là các điểm thuộc trung trực của $EF$ với ${{R}_{1}}$ nằm trong tam giác $DEF$, ${{R}_{2}}$ nằm ngoài tam giác $DEF$ và $\angle E{{R}_{1}}F=\angle E{{R}_{2}}F=\alpha $. Định nghĩa tương tự với các điểm ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{T}_{1}},{{T}_{2}}$. Chứng minh rằng các đường thẳng $D{{R}_{1}},E{{S}_{1}},F{{T}_{1}}$ đồng quy tại một điểm ${{O}_{1}}$, các đường thẳng $D{{R}_{2}},E{{S}_{2}},F{{T}_{2}}$ đồng quy tại một điểm ${{O}_{2}}$ và đường thẳng ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ luôn đi qua một điểm cố định khi tam giác $DEF$ và góc $\alpha$ thay đổi.

$\triangle DEF $ chứ anh nhỉ?

Sắp tới kì thi TST rồi,có lẽ nên giải quyết cho xong những bài của anh Lữ trước kì thi.

Bài 49:Là một bài Mongolia 1996,được thảo luận tại [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]=p~

Gửi mọi người gợi ý của 4 bài đã nêu ở trên: :)

Bài 49:
Bài này đúng là được lấy nguồn từ link mà bạn mathandyou đã gửi. Nếu khai thác thêm thì có thể thấy 1 số kết quả khá thú vị:
- Quỹ tích trọng tâm, trực tâm tam giác $DEF$ vẫn là các conic.
- Khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến tâm nội tiếp tam giác $DEF$ không đổi.

Bài 50:
Ý đầu tương đối nhẹ nhàng. Có thể chứng minh bằng cách chỉ ra trực tiếp các số trong hai dãy sau thỏa mãn điều kiện:
$u_1 = 1, u_{n+1} = 2^{u_n}+1$ và $v_n=3^{n}$.
Chú ý thêm rằng phương trình $2^a+1=3^b$ có hữu hạn nghiệm là xong.
Ý thứ hai khó hơn, đưa về chứng minh $\lim \frac{s(n)}{n}$ = 0$.

Bài 51:
Đáp số là $f(n)=n$ và giải quyết bằng phản chứng và xây dựng các dãy thích hợp (đánh giá có thể mạnh tay nhưng cuối cùng vẫn chặn được).

Bài 52:
Bài này đáng tiếc là bị sai đề, có lẽ không có điểm cố định nào khi cả $D,E,F$ và $\alpha$ đều thay đổi như thế. Rất xin lỗi mọi người! Nếu cố định $D,E,F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $GBC,GCA,GAB$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì điểm cố định cần tìm chính là $G$ (khi $\alpha$ thay đổi). Chú ý rằng khi đó điểm $G$ là điểm Lemoine của tam giác $DEF$.

Sorry vì off topic,mọi người cho mình hỏi năm nay sao không thấy ai cập nhập tình hình đội tuyển IMO của chúng ta nhỉ,ngoài những hình ảnh trên fb thầy Nam Dũng ra mình không biết phải theo dõi tin tức về đội tuyển ở đâu cả.

Có lẽ giờ các thông tin giờ mọi người gửi trên facebook thì dễ theo dõi và cập nhật hơn bạn à, ít gửi trên diễn đàn nữa. +_+

À, có một bài toán trong đề kiểm tra đội tuyển, gửi mọi người tham khảo thử:

Cho tam giác ABC có $O,H$ tâm ngoại tiếp và trực tâm. Gọi $M,N$ là các điểm đối xứng với $B,C$ qua đường thẳng $OH$. Xét điểm $P$ bất kỳ trên $OH$. Giả sử $MP$ cắt $AC$ tại $Y$ và $NP$ cắt $AB$ tại $X$. Gọi $S$ là điểm đối xứng với $H$ qua $XY$. Chứng minh rằng $S$ thuộc $(O)$.

Dạ thưa anh huynhcongbang .Dạ thưa anh là anh có thể cho em biết là trang facebook nào mọi người thường thảo luận được không ạ.

À, thầy Dũng có gửi một số nội dung liên quan đến bài giảng đội tuyển trên facebook, em có thể xem tại đây nhé:

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Em cảm ơn anh huynhcongbang ạ.

Sao TEX diễn đàn lại bị lỗi như thế này nhỉ? Có cách gì khắc phục được không?

Thầy kẹp nó vào trong $$ thay vì vào cặp đi ạ.

Ý thầy là làm sao để xem các bài viết cũ của 4rum.

Em xin góp vui 2 bài hình @@ :!
Bài 53: Cho đường tròn (O) có B, C là 2 điểm cố định. A là điểm di động trên cung lớn BC. M là trung điểm BC. E, F là chân đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC. Trên BE, CF lần lượt lấy điểm P, Q sao cho CP song song ME, BQ song song MF. EF cắt BQ, CF tại I, J.
a) Chứng minh trung trực IJ đi qua điểm cố định.
b) Trên tia IB, JC lấy điểm U, V sao cho IU=JV=BC. Gọi T là giao điểm IB và JC. Chứng minh đường tròn (TUV) tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
Bài 54:
Cho tam giác $ABC$ có M là trung điểm $BC. d$ đường thẳng thay đổi và luôn đi qua $M. d$ cắt$AB, AC$ tại $E, F$. Từ$ E, F$ vẽ $d1, d2$ vuông góc $AB, AC. d1, d2$ cắt trung trực $BC$ tại$ P, Q.$
a) Chứng minh giao điểm của $BP$ và $CQ$ nằm trên 1 đường cố định.
b) Gọi N là giao điểm của $d1$ và$ d2$. Chứng minh trung điểm đoạn nối trực tâm của 2 tam giác $ABC $và$ NPQ $nằm trên $d.$