Tìm giới hạn dãy số
 

Bài 1 Cho dãy $(u_n)$, $n$ nguyên dương, xác định như sau:
$$\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{{u_n}^2 - u_n}{2005} + u_n \end{cases} $$
Đặt $S_n= \sum_{i=1}^n \dfrac{u_i}{u_{i+1}-1}$
Tìm $\lim S_n$
Bài 2 Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau :
$$\begin{cases} u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{\sqrt{u_n^2 + 4u_n}+u_n}{2} , n \in N, n\ge 1 \end{cases}$$
Tính $\lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i^2}$

Bài 1:
Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được $u_n>1$
Từ công thức truy hồi ta có:
$2005u_{n+1}=u_n^2+2004u_n$
$\Leftrightarrow 2005(u_{n+1}-u_n)=u_n(u_n-1)$
$\Rightarrow \dfrac{2005(u_{n+1}-u_n)}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}=\dfrac{u_n}{u_{n+1}-1}$
$\Leftrightarrow 2005(\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1})=\dfrac{u_n}{u_{n+1}-1}$
$\Rightarrow S_n=\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i}{u_{i+1}-1}=2005-\dfrac{2005}{u_{i+1}-1} (*)$
Xét dãy số, từ công thức truy hồi ta có:
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n(u_n-1)}{2005}>0 (u_n>1)$
Vậy $u_n$ là dãy tăng.
Giả sử $u_n$ bị chặn trên suy ra $u_n$ là dãy hội tụ nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Đặt $L=\lim_{n\rightarrow \infty}u_n$. Chuyển qua giới hạn ta có:
$L=\dfrac{L^2-L}{2005}+L$
$\Rightarrow L=0$ hay $L=1$
Điều này vô lý do $u_n$ là dãy tăng và $u_1=2$
Vậy $u_n$ không bị chặn trên
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}u_n=+\infty$
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}(u_{n+1}-1)=+\infty$
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{2005}{u_{n+1}-1}=0$
Từ $(*)$ ta có:
$S_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i}{u_{i+1}-1}=2005-\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{2005}{u_{i+1}-1}=2005$

Bài 2: Dễ dàng chứng minh được $u_n>0$
Từ công thức truy hồi ta có:
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n}{2(\sqrt{u_n^2+4u_n}+u_n)}>0 (u_n>0)$
$\Rightarrow u_n$ là dãy tăng
Giả sử $u_n$ bị chặn trên suy ra dãy $u_n$ là dãy hội tụ nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Đặt $L=\lim_{n\rightarrow \infty}u_n$.Chuyển qua giới hạn ta có:
$L=\dfrac{\sqrt{L^2+L}+L}{2}$
$\Rightarrow L=0$ hay $L=\dfrac{4}{3}$
Điều này là vô lý do $u_n$ là dãy tăng và $u_1=2$.
Vậy $u_n$ không bị chặn trên
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}u_n=+\infty$
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{u_n}=0$
Vẫn từ công thức truy hồi ta có:
$2u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n^2+4u_n}$
Do $2u_{n+1}>u_n$,bình phương 2 vế:
$\Rightarrow u_{n+1}^2-u_{n+1}u_n=u_n$
$\Leftrightarrow \dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n.u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_{n+1}^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{u_n}-\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_{n+1}^2}$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^n\dfrac{1}{u_i^2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{u_{n+1}}$
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{u_i^2}=\dfrac{1}{2}-\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}$

Chuyển qua giới hạn bài 2 chỉ ra giá trị L=0 thôi nhé ông tú,coi lại u1 =1/2 nữa