Đề thi IMO 2012 2 Attachment(s) Ngày 1 [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] Cho tam giác $ABC$ và điểm $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của tam giác. Đường tròn này tiếp xúc với $AB,AC,BC$ tại $K,L,M$ theo thứ tự. $LM$ cắt $BJ$ tại $F$, $KM$ cắt $CJ$ tại $G$. Gọi $S,T$ lần lượt là giao điểm của $AF,AG$ với $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $ST$. [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] Cho số nguyên $n \ge 3$ và các số thực dương $a_2,a_3,\ldots,a_n$ thỏa mãn $a_2 \cdots a_n= 1$. Chứng minh rằng $$ (1+a_2)^2(1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n > n^n $$ [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] Trò chơi đoán kẻ nói dối là một trò chơi giữa hai người chơi $A$ và $B$. Quy tắc của trò chơi phụ thuộc vào hai số nguyên dương $k$ và $n$ mà cả hai người chơi đều đã biết trước. Bắt đầu trò chơi, $A$ sẽ chọn các số nguyên $x$ và $N$ với $1 \le x \le N$. $A$ giữ bí mật số $x$ và nói số $N$ cho $B$. $B$ sẽ cố thu nhận thông tin về số $x$ bằng cách hỏi $A$ các câu hỏi như sau : mỗi câu hỏi bao gồm việc $B$ xác định một tập $S$ tùy ý các số nguyên dương (có thể là một tập đã được nhắc đến trong câu hỏi trước đó) và hỏi $A$ xem $x$ có thuộc $S$ hay không. Sau mỗi câu hỏi, $A$ phải trả lời có hoặc không, nhưng có thể nói dối bao nhiêu lần tùy thích, chỉ có điều là phải trả lời đúng ít nhất một trong số $k+1$ câu hỏi liên tiếp. Sau khi $B$ đã hỏi xong, $B$ phải chỉ ra một tập $X$ có tối đa $n$ số nguyên dương. Nếu $x \in X$, $B$ thắng; nếu ngược lại, $B$ thua. Chứng minh rằng :
--------------------------------------------------------------- Ngày 2 [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho với mọi $a+b+c=0$ thì $$ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a). $$ [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ACB} = 90^\circ$ và $D$ là chân đường cao tương ứng với đỉnh $C$. Gọi $X$ là một điểm trong của đoạn thẳng $CD$. Gọi $K$ là điểm trên đoạn thẳng $AX$ sao cho $BK=BC$. Tương tự, gọi $L$ là điểm trên đoạn thẳng $BX$ sao cho $AL=AC$. Gọi $M$ là giao điểm của $AL$ và $BK$. Chứng minh rằng $MK=ML$. [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn $$ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1 $$ |
Đề ngày 1 đã về, chiến thôi anh em =p~ Bấm vào link tương ứng với từng bài để giải nhé =p~ |
Đề đã về =p~ |
Đã có đầy đủ cả 6 bài toán :)) PS1 : Bản pdf đề chính thức sẽ được cập nhật trong thời gian sớm nhất cùng với IMO SL 2011 :)) PS2 : Bạn nào có ý định copy bản dịch của mình qua nơi khác vui lòng ghi rõ nguồn MS nhé :angrybird: |
Đã upload hai bản pdf đề chính thức bằng tiếng Anh và tiếng Việt B-) Giờ chỉ còn đợi kết quả và IMO SL 2011 B-) |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:13 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.