Điều kiện để $a^n=b^m$
 

Cho các số nguyên dương $a;\,b;\,m;\,n$ thỏa $\gcd (m;\,n)=1$ và $a^m=b^n$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho
\[a=c^n;\,b=c^m.\]

Ta chứng minh được mọi ước số nguyên tố của a đề là ước số nguyên tố của b.
Giả sử :$p|a\Rightarrow p|a^{m}\Rightarrow p|b^{n}\Rightarrow p|b$
Do đó:
$a=p_{1}^{u_{1}}p_{2}^{u_{2}}...p_{k}^{u_{k}}$
$b=p_{1}^{v_{1}}p_{2}^{v_{2}}...p_{k}^{v_{k}}$
Vì $a^{m}=b^{n}\Rightarrow mu_{i}=nv_{i}$ với $i=1...k$
Từ điều trên ta có:
$n|mu_{i}$ vì $(m,n)=1$ suy ra $n|u_{i}$ suy ra $u_{i}=t_{i}n$
thế lại ta suy ra: $v_{i}=t_{i}m$
Đặt $c=p_{1}^{t_{1}}...p_{k}^{t_{k}}$,ta có đpcm.

Có cách không dùng phân tích ra thừa số nguyên tố, như sau:

Theo định lý Bézout, sẽ tồn tại $k;\,l\in\mathbb N$ sao cho $km-ln=1$. Từ đó có\[a = {a^{km - ln}} = \frac{{{{\left( {{a^m}} \right)}^k}}}{{{a^{ln}}}} = \frac{{{{\left( {{b^n}} \right)}^k}}}{{{a^{ln}}}} = {\left( {\frac{{{b^k}}}{{{a^l}}}} \right)^n}.\]Do $a;\,b\in\mathbb Z^+$, nên $a^l\mid b^k$ ta viết $b^k=ca^l$ với $c\in\mathbb Z^+$ là có điều cần chứng minh.

Mình có thể biết được là ý nghĩa của việc tìm điều kiện ${a^n} = {b^m}$ được không nhỉ ?