Một bất đẳng thức
 

Cho a,b,c>0, CMR
$2(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1) $
=p~=p~

Sử dụng
$2(a^2+1)^3 \ge (a+1)^3(a^3+1) $
thật vậy vì nó tương đương $(a-1)^4(a^2+a+1) \ge 0 $
Lập các BDT tương tự rồi nhân lại sau đó sử dụng



Ta có điều phải chứng minh.

Thử sức bài tương tự :
$a,b,c,d>0 $ thỏa mãn$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $.Chứng minh

$\sum^{a,b,c,d}_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} +4 \le 2(a+b+c+d) $

BĐT viết lại dưới dạng thuần nhất:
$\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}+\frac{16abcd}{abc+bcd+acd+ abd}\leq 2(a+b+c+d) $
Sử dụng:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}} $
Điều đó tương đương với :
$2(a+b)\geq \frac{4ab}{a+b}+2\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}} $
Làm 3 bất đẳng thức tương tự, cộng vế theo vế,ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{cd}{c+d}+\frac {da}{d+a}\geq \frac{8abcd}{abc+bcd+acd+abd} $
$
\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(a+b)cd}\geq \frac{8}{\sum abc} $ (hiển nhiên đúng theo cauchy schwarz)
Vậy bất đẳng thức đã đc chứng minh.

Bài bđt này trong đề thi vào chuyên toán của Nghệ An, loại này cũng quen với nhiều bác rùi nhưng mình cũng post lên nhé =p~
cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=3. Tìm max của
$P=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}
$

dạng này mình cũng vài lần thấy ,giả sử $\sqrt{b} $ nằm giữa $\sqrt{a} $,và $\sqrt{c} $

rồi sử dụng $\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a}) \ge 0 $

ta được

$P \le P-\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})=\sqrt{b}(a
+c)=\sqrt{b}(3-b) $

đến đây thì tìm max dễ

Theo mình nghĩ là được, vì chỉ cần a, b, c có vai trò hoán vị vòng quanh cho nhau, không cần vai trò bình đẳng.

Cách 2:
đặt :$a=\frac{1-x}{1+x};b=\frac{1-y}{1+y};c=\frac{1-z}{1+z} $
khi đó:
$\frac{a^2+1}{a+1}=\frac{x^2+1}{x+1}; $
$\frac{b^2+1}{b+1}=\frac{y^2+1}{y+1} $
$\frac{c^2+1}{c+1}=\frac{z^2+1}{z+1} $
$abc+1=\frac{2(xy+yz+zx+1)}{(x+1)(y+1)(z+1)} $
BDT trở thành:
$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) \geq xy+yz+zx+1 $
$\Leftrightarrow \sum x^2y^2+ \sum x^2 \geq \sum xy $
theo AM-GM:
$\sum x^2 = \sum \frac{x^2+y^2}{2} \geq \sum|xy| \geq \sum xy $
và $\sum x^2y^2 \geq 0 $
$\Rightarrow dpcm $
dấu = xảy ra khi a=b=c=1