Một bất đẳng thức Cho a,b,c>0, CMR $2(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1) $ =p~=p~ |
Trích:
$2(a^2+1)^3 \ge (a+1)^3(a^3+1) $ thật vậy vì nó tương đương $(a-1)^4(a^2+a+1) \ge 0 $ Lập các BDT tương tự rồi nhân lại sau đó sử dụng Ta có điều phải chứng minh. Thử sức bài tương tự : $a,b,c,d>0 $ thỏa mãn$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $.Chứng minh $\sum^{a,b,c,d}_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} +4 \le 2(a+b+c+d) $ |
BĐT viết lại dưới dạng thuần nhất: $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}+\frac{16abcd}{abc+bcd+acd+ abd}\leq 2(a+b+c+d) $ Sử dụng: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}} $ Điều đó tương đương với : $2(a+b)\geq \frac{4ab}{a+b}+2\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}} $ Làm 3 bất đẳng thức tương tự, cộng vế theo vế,ta chỉ cần chứng minh: $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{cd}{c+d}+\frac {da}{d+a}\geq \frac{8abcd}{abc+bcd+acd+abd} $ $ \Leftrightarrow \sum \frac{1}{(a+b)cd}\geq \frac{8}{\sum abc} $ (hiển nhiên đúng theo cauchy schwarz) Vậy bất đẳng thức đã đc chứng minh. |
Bài bđt này trong đề thi vào chuyên toán của Nghệ An, loại này cũng quen với nhiều bác rùi nhưng mình cũng post lên nhé =p~ cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=3. Tìm max của $P=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc} $ |
Trích:
rồi sử dụng $\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a}) \ge 0 $ ta được $P \le P-\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})=\sqrt{b}(a +c)=\sqrt{b}(3-b) $ đến đây thì tìm max dễ |
Trích:
|
Trích:
|
Trích:
|
Trích:
|
Trích:
Trích:
đặt :$a=\frac{1-x}{1+x};b=\frac{1-y}{1+y};c=\frac{1-z}{1+z} $ khi đó: $\frac{a^2+1}{a+1}=\frac{x^2+1}{x+1}; $ $\frac{b^2+1}{b+1}=\frac{y^2+1}{y+1} $ $\frac{c^2+1}{c+1}=\frac{z^2+1}{z+1} $ $abc+1=\frac{2(xy+yz+zx+1)}{(x+1)(y+1)(z+1)} $ BDT trở thành: $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) \geq xy+yz+zx+1 $ $\Leftrightarrow \sum x^2y^2+ \sum x^2 \geq \sum xy $ theo AM-GM: $\sum x^2 = \sum \frac{x^2+y^2}{2} \geq \sum|xy| \geq \sum xy $ và $\sum x^2y^2 \geq 0 $ $\Rightarrow dpcm $ dấu = xảy ra khi a=b=c=1 |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:02 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.