Thử xét $u$ là hàm đơn điệu để khử trị tuyệt đối.
Khi đó BĐT hiển nhiên đúng vì với hàm $F$ không giảm trên $[a,b]$ có đạo hàm khả tích thì
\[\int_{a}^{b} F'(x) dx\le F(b)-F(a).\]
Thay F bởi hàm không giảm bởi hàm đơn điệu thì ta có kết qủa

\[\int_{a}^{b} |F'(x)| dx\le |F(b)-F(a)| \le |F(b)|+|F(a)|.\]

Một cách tổng quát hơn, $u$ có thể biễu thành hiệu hai hàm đơn điệu không giảm, $u(x)= f(x)-g(x).$
Do đó
\[\int_{a}^{b} |u'(x)| dx\le \int_{a}^{b} |f'(x)| dx+\int_{a}^{b} |g'(x)| dx\le |f(b)-f(a)+|g(b)-g(a)|= f(b)+g(b)-f(a)-g(a).\]
Nếu $f(b)\le 0$ hoặc $g(b) \le 0$ , không mất tính tổng quát giả sử $g(b)\le 0$, thì
\[|u(b)| = |f(b)-g(b)| \ge f(b)-g(b)\ge f(b)+g(b).\]
Nếu $f(a) \ge 0 $ hoặc $g(a)\ge 0$ thì
\[|u(a)| = |f(a)-g(a)| \ge -f(a)-g(a).\]
Do đó ta chưa chứng minh được trong trường hợp $f(b)> 0, g(b)> 0$ hoặc $f(a)<0, g(a)<0.$