Lời giải và Bình luận VMO 2014
 

Vậy là kỳ thi VMO 2014 rồi cũng đã khép lại và như các năm trước, ở diễn đàn MathScope đã diễn ra các cuộc thảo luận sôi nổi, nhiệt tình về những bài toán trong lần thi này. Để tổng hợp lại các lời giải, bình luận đó cũng như đưa ra các đánh giá chung, xin giới thiệu với mọi người tài liệu "Đề thi HSG Toán cấp quốc gia THPT năm học 2013 - 2014. Lời giải và bình luận" do thầy Trần Nam Dũng chủ biên.

Các lời giải ở đây chỉ mang tính tham khảo, tất nhiên các thí sinh có thể có nhiều ý tưởng khác nhau và trình bày ý tưởng đó cũng theo những con đường khác nhau. Mong rằng tài liệu này sẽ có ích cho các thí sinh, các thầy cô cũng như các bạn học sinh yêu Toán. Dù kết quả thế nào thì các bạn cũng đã cố gắng hết sức và đó mới là điều đáng quý. Chúc các bạn có những ngày đầu năm mới vui vẻ và rất mong được đón nhận những đóng góp ý kiến về tài liệu này!

Không có dự đoán điểm :'(

Tài liệu rất hay .

Sao không viết thêm một ít nữa ở Bài 7 hả em? Anh thấy hơi cụt.

Lời giải cho mở rộng bài 5.
Gọi $A_3B_3C_3$ là tam giác tạo bởi giao của các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B,C$. Khi đó $(O)$ trở thành đường tròn nội tiếp tam giác $A_3B_3C_3$. $C_3O$ giao $AC$ tại $A_2$ nên theo bổ đề quen thuộc $A_2$ nằm trên đường trung bình ứng với $B_3C_3$. Tương tự suy ra tam giác $DEF$ là tam giác trung tuyến của $A_3B_3C_3$ hay $(DEF)$ là đường tròn Euler của $A_3B_3C_3$. Từ đó $(O)$ và $(DEF)$ tiếp xúc nhau tại điểm Feuerbach $F_e$ của tam giác $A_3B_3C_3$.
Tính chất điểm Feuerbach thuộc $(AA_1A_2)$ có thể suy ra từ định lý Fontene như sau:
Gọi $A_1A_2$ cắt $BC$ tại $X$. Áp dụng định lý Fontene (xem tại [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]) suy ra $F_e$ thuộc $AX$. Theo câu a của bài 5 VMO 2014 thì $F_e$ thuộc $(AA_1A_2).$

Có mối liên hệ khá hay giữa 2 bài đấy chứ nhỉ :))

Đúng là bài 7 không có nhiều thời gian đầu tư nên chưa viết hết được. Tuân có ý gì bình luận thêm không. Lữ thử nhờ Nguyễn Đình Toàn bình thêm xem thế nào?

Trong topic về bài 7 có bình luận của hai em Tùng và Quý rồi anh ạ! Viết thêm tý cho các giáo viên đọc, học sinh thì đọc thế là ngon rồi.

P.S. Mà anh gửi cho em chưa vậy? Không em bảo mấy thằng chung tiền mua luôn.

Linh@: Hè này rảnh không Thánh? :))

Hè này em phải đi thực tập tầm 1 tháng anh ạ, nhưng chắc vẫn trốn được tầm 1 tuần :))

Uhm. Tuần đó xuống anh chơi nhé! Một tuần luôn. :))

Vâng để em thu xếp ạ :)

Oh, bài này hôm trước a ngồi vẽ lung tung lên, mong là có cái đồng quy hay đi qua điểm nào đặc biệt đấy, tự nhiên phát hiện tính chất này cũng vui vui. Hóa ra bản chất bài này lại là các điểm quen thuộc thế. :))
------------------------------
Dạ, giờ lỡ đăng lên rồi không biết có nên cập nhật tiếp không ạ? Em thấy chắc thiếu phần mở rộng cho số thực và chia tổng quát thành $k$ bộ thay vì 3 bộ.

Cái em thấy hay hay là nó liên quan cái bổ đề quen thuộc trong đường tròn nội tiếp anh ạ. Xuất hiện rất nhiều trong VMO :D

Có một câu hỏi liên quan đến bài số 7 như sau. Với 2014 số hữu tỉ không đồng thời bằng nhau thì có nhiều nhất bao nhiêu số trong 2014 số đó có tính chất là bỏ đi số đó thì 2013 số còn lại có thể chia thành 3 nhóm có tổng bằng nhau và cùng có 671 phần tử.:-w Đáp số là 2012.
Bài toán tổng quát phát biểu tương tự.