Tam giác có chu vi và diện tích đều nguyên
 

Cho dãy số $(u_n) $ xác định như sau:
$u_n = (2+\sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n, n = 1,2, 3,... $.
Gọi $T_n $ là tam giác có ba cạnh lần lượt là $u_n-1, u_n, u_n+1 $. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương:
1. Chu vi của tam giác này nguyên.
2. Diện tích của tam giác này nguyên.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
--------------------------------
Đặt $a_n=(2+\sqrt3)^2,b_n=(2-\sqrt3)^n $
$\Rightarrow u_n=a_n+b_n,a_n . b_n=1 $
Gọi $P_n, S_n $ là chu vi, diện tích của $T_n $
Bằng quy nạp, ta chứng minh được dãy $\{u_n\} $ thỏa mãn hệ thức truy hồi: $u_1=4,u_2=14,u_{n+1}=4u_n-u_{n-1} $ nên $u_n \in \mathbb{N}^* $. Suy ra $P_n \in \mathbb{N}^* \; \forall n\in \mathbb{N}^* $
Gọi $p_n $ là nửa chu vi của $T_n $, ta có $p_n= \frac{3u_n}{2} $
Áp dụng công thức Herone, ta có $S_n^2=\frac{3}{16} (u_n^4-4u_n^2) $. Ta có:
$u_n^4=(a_n+b_n)^4=a_n^4+b_n^4+4(a_n^2+b_n^2)+6 $
$u_n^2=(a_n+b_n)^2=a_n^2+b_n^2+2 $
$\Rightarrow S_n^2=\frac{3}{16}(a_n^2-b_n^2)^2 $
$\Rightarrow S_n=\frac{\sqrt3}{4}\left((2+\sqrt3)^{2n}-(2-\sqrt3) ^{2n}\right) $
Ta có thể dùng công thức nhị thức Newton để chứng minh $S_n $ nguyên hoặc chứng minh $S_n $ thỏa mãn hệ thức truy hồi $S_1=6,S_2=84,S_{n+1}=14S_n-S_{n-1} $