$ x=y=\pm \dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ (k \in \mathbf{Z}) .$
Hai nghiệm này giống nhau, chỉ khác cách viết thôi .

Như bạn nói, $A \ge 20 $ luôn đúng, mà đề cho phương trình A=20, dấu bằng xảy ra chính là nghiệm của pt còn gì?


Bạn ấy áp dụng cho từng bình phương rồi cộng vào mà anh? Em vẫn chưa thấy nó sai ở đâu. Anh chỉ rõ với ạ?

Đặt điều kiện xác định.
Đặt $\sin^2x=a; \cos^2y=b $ ($a, b \in (0;1) $). Ta có ngay
Chú ý:
+ Khi $a \to 0 $ thì $P \to \infty $.
+ Dễ thấy nghiệm của hệ là $x=y $. Khi đó $a+b=1, $ thay vào phương trình đầu ta cần chứng minh (dựa vào chú ý 1 để có dấu $\ge $)
Chứng minh điều này bằng biến đổi tương đương kết hợp sử dụng BĐT cơ bản.
Như vậy :
+ Thứ nhất nếu chỉ ra được $x=y $ thì coi như xong.
+ Thứ hai ta luôn có $\sqrt{1-a+\frac{1}{1-a}} \ge \sqrt{10}-\sqrt{a+\frac{1}{a}}.(*) $

Việc còn lại là áp dụng BĐT (*) để chứng minh $P \ge 20 $, điều này đúng do $x^2+y^2 \ge \frac{1}{2}(x+y)^2. $
Đáp số: $x=y=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, k \in Z. $

Lời giải bạn High high được thế này $A=B \le C $ mà theo bạn ấy thì $A \le C $ là hiển nhiên nên có dấu bằng là sai.

À đã hiểu, tức là bạn ý chứng minh cả VP và VT đều nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức đó rồi suy ra VP=VT là sai.

Đúng là mình sai thật, cảm ơn nhiều!

Mình có 1 cách khác:
Cộng vế với vế ta có:
$\sqrt{(\sin x)^2+\dfrac{1}{\sin x)^2}}+\sqrt{(\cos x)^2+\dfrac{1}{\cos x)^2}}+\sqrt{(\sin y)^2+\dfrac{1}{\sin y)^2}}+\sqrt{(\cos y)^2+\dfrac{1}{\cos y)^2}} = \sqrt{20}.\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+ y}}
Ta có $VP^2= \sqrt{20}.(1+\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)^2}}\leq 40
\Rightarrow VT \leq 2\sqrt{10}$
Ta cm $VT \geq 2\sqrt(10)$
$VT= \sqrt{(\sin x)^2+\dfrac{1}{\sin x)^2}}+\sqrt{(\cos x)^2+\dfrac{1}{\cos x)^2}}$
$= 1+\dfrac{4}{\sin(2x)}+2.\sqrt{\dfrac{\sin{2x}}{4}+ (\tan x)^2+\dfrac{1}{(\tan x)^2}+\dfrac{4}{\sin(2x)}}\geq 2\sqrt(10)$ ($\sin(2x)\leq 1$)
Ta có dấu $=$ xảy ra khi: $x=y=\dfrac{\pi}{4} +k2\pi$.

Bài này có thể dùng bđt Cauchy đơn giản như sau:

Đặt $\sin^2x=a $, $\cos^2x=b $, $\sin^2y=c $, $\cos^2y=d $.

Ta có $a,b,c,d>0 $, $a+b=c+d=1 $.

Ta chứng minh: $(\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}})(\sqrt{ c+\frac{1}{c}}+\sqrt{d+\frac{1}{d}})\ge 10. $

Có: $VT\ge 4\sqrt[4]{\prod (a+\frac{1}{a})} $.

+ $(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b}) $ $=ab+\frac{1}{ab}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge \frac{25}{4} $

+ $(c+\frac{1}{c})(d+\frac{1}{d}) $ $=cd+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\ge \frac{25}{4} $

Suy ra điều phải chứng minh!

Lời giải của thầy Nguyễn duy Liên
 

Đây là lời giải của thầy Nguyễn Duy Liên để các bạn tham khảo

2 nghiệm này khác nhau hoàn toàn:))