[Bài 166.] [/B]Cho tam ABC có chân các đường phân giác trong và ngoài kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là M,M'; N,N'; K, K'. Gọi A'; B'; C' là trung điểm các đoạn MM', NN', KK'. Gọi H là trực tâm tam giác MNK. Chứng minh rằng H có cùng phương tích với ba đường tròn tâm lần lượt là A', B', C'

Bài 167:

Chọn đội tuyển HSG Tỉnh BRVT.

Cho tam giác ABC, $AB \neq AC $ nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại I, AI cắt (O) tại D (D khác A). Gọi M là trung điểm BC, AM cắt (O) tại F. OK vuông góc AD tại K, BK cắt (O) tại E.
a) Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{MAC} $
b) Chứng minh $AB // EF $

BÀI 168: Cho (O,R) và đường thẳng d không cắt (O). E là hình chiếu của O trên d. M là 1 điểm trên d. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB đến (O). C,d lần lượt là hình chiếu của E trên MA, MB. CM: CD đi qua 1 điểm cố định:lolz2::lolz2:

Các anh chị giải giúp em câu b,c bài này với ạ
Bài 169:
Cho (O,R) cắt (O',R') tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt (O), (O') tương ứng ở C và D(A nằm giữa C, D). Các tiếp tuyến tại C và D của 2 nửa đường tròn cắt nhau tại K. Nối KB cắt CD tại I. Kẻ IE // KD (E thuộc BD).
a, Tam giác BOO' đồng dạng tam giác BCD
b/ AE là tiếp tuyến của (O,R)
c, Tìm vị trí của CD để S BCD lớn nhất

MC cắt OE tại I,MD cắt OE tại J,CD cắt OE tại K.Ta CM các ý sau:
$1/ KE^2=KC.KD$
$2/ KC.KD=KI.KJ(tứ giác nội tiếp)$
$3/ KI.KJ=KO^2-R^2$
$KO-KE không đổi=>đpcm$ :D

b/Ta lấn lượt CM
1/$\angle BAD +\angle BDK=180$
2/$AIBE$ nội tiếp
3/$\angle BCK=\angle BAD$
4/$BDKC$ nội tiếp
5/$\angle BAE=\angle ACB$=>đpcm

c/Từ $A$ kẻ $MN$ vuông góc với $AB$, ta CM được:
1/2 $MN.AB$ $\ge$ 1/2 $CD.AB$$\ge$ $S BCD$

Chứng minh $KI.KJ= KO^{2}-R^{2} $ thế nào vậy bạn :[:[:[:[

Topic rất hay mà ngừng lâu quá rồi. Mình thử xem mọi người còn hứng thú không nhé.
Bài 170 Cho tam giác $ABC$, một đường tròn tâm $O$ bất kỳ đi qua $B, C$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $E, F$. $G = CE \cap BF$, $H = AG \cap BC$. Giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B, C$ của đường tròn $(ABC)$ cắt nhau tại $S$, $K = SH \cap EF$. Chứng minh rằng $KG$ đi qua $O$.

Đây đúng là một bài toán rất hay nó được mờ rộng từ bài toán trực tâm tam giác khi bị thay bằng điểm mới . Để mình làm thử xem sao
=p~

Bài 171: Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy điểm C sao cho cung AC lớn hơn cung BC. Gọi D là giao điểm của tiếp tuyến kẻ từ A và C. H là hình chiếu của C lên AB. Gọi I là giao điểm DB với CH. Chứng minh I là trung điểm CH.

Bài toán này là bài toán hay. Nó đã bị gián đoạn sau thời gian dài. Mình xin khởi động lại topic bằng cách giải bài toán này. Đầu tiên sửa lại ký hiệu một chút cho dễ nhìn.

Bài 170 (CTK9). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,$ $C$ cắt $CA,$ $AB$ tại $E,$ $F.$ $BE$ cắt $CF$ tại $H.$ $AH$ cắt $BC$ tại $D.$ Tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T.$ Chứng minh rằng $DT,$ $EF$ và $KH$ đồng quy.


Lời giải. Gọi $EF$ cắt $BC$ tại $P.$ $AP$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A.$ Theo tính chất quen thuộc về điểm Miquel thì $HK$ vuông góc với $PA$ tại $G.$ Gọi $KH$ cắt $EF$ tại $S.$ $EF$ cắt $(O)$ tại $Q,$ $R.$ Dễ thấy $OA$ vuông góc $EF$ tại trung điểm $M$ của $QR.$ Khi đó tứ giác $AMSG$ nội tiếp. Ta có biến đổi hệ thức lượng

$$PQ\cdot PR=PG\cdot PA=PS\cdot PM.$$

Từ đây ta thu được hàng điểm $(PS,QR)=-1.$ Từ hàng điều hòa cơ bản dễ thấy $(PD,BC)=-1.$ Từ đó $SD$ là đường đối cực của $P$ đối với $(O)$ mà tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$ nên $P,$ $T$ liên hợp với $(O)$ do đó $SD$ đi qua $T.$ Ta hoàn thành chứng minh.

Bài toán này xuất phát từ đề thi của Nga đã khá lâu, một phát triển của nó mình đã đề nghị cho cuộc thi Sharygin. Sau đây là bài viết về bài toán đó trên báo Epsilon số 13 (xem file đính kèm).

Để tiếp tục topic mình xin đề xuất bài toán.

Bài 172. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O).$ $P$ là một điểm bất kỳ. $PB,$ $PC$ cắt tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ lần lượt tại $M,$ $N.$ $BN$ cắt $CM$ tại $X.$ Định nghĩa tương tự các điểm $Y$ và $Z.$ Chứng minh rằng các đường thẳng $AX,$ $BY$ và $CZ$ đồng quy.

(Đề kiểm tra đội tuyển VMO THPT chuyên KHTN)

Lời giải bài 172.


Bài 173. Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kỳ. $K,$ $L$ đối xứng với $B,$ $C$ qua $P.$ Đường tròn $(PBC)$ cắt lại các đường tròn $(PAK),$ $(PAL)$ tại $Q,$ $R.$ $M,$ $N$ lần lượt đối xứng $Q,$ $R$ qua trung điểm $CA,$ $AB.$ Chứng minh rằng bốn điểm $A,$ $M,$ $N$ và $P$ đồng viên.

Bài 174 Cho tam giác $ABC$ , đường Euler của tam giác này cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Chứng minh đường Euler của $AMN$ song song $BC$
P/s: thầy giải bài 173 đi ạ

Cho tam giác $ABC $ vuông ở $A $ có $\hat{B}=20^o $, vẽ phân giác trong $BI $, vẽ $\widehat{ACH}=30^o $ về phía trong tam giác($H $ nằm trên $AB $). Tính $\widehat{CHI} $