Một bài về topo hữu hạn-đóng
 

Đề bài
Định nghĩa:

• Không gian topo $(X, \tau)$ được gọi là hữu hạn - đóng, nếu tập đóng của không gian này là X, và tất cả những tập con hữu hạn của X.
• Một không gian topo $(X, \tau)$ được gọi là có tính chất điểm bất động, nếu mọi anh xạ liên tục đi từ X vào chính nó đều có điểm bất động.

Hỏi:
Không gian topo hữu hạn - đóng có tính chất điểm bất động hay không?

-------------------

Theo mình câu trả lời là không nếu card(X) > 1. Tuy nhiên, phần lý luận chưa thật hoàn chỉnh.

• Nếu X chỉ có 1 phần tử: Hiển nhiên X có tính chất điểm bất động vì ánh xạ duy nhất đi từ X đến X là ánh xạ đồng nhất, và nó liên tục.
• Nếu X có hữu hạn phần tử (số phần tử lớn hơn 1): Vì X là hữu hạn - đóng lại chỉ có hữu hạn phần tử, nên không gian $(X, \tau)$ là không gian topo liên tục. Giả sử $X = \{ x_1; x_2; ...; x_n \}$. Ta định nghĩa ánh xạ:
  
  $\boxed{f(x) := \left\{ \begin{array}{ll} x_{i+1} & \mbox{, neu } x = x_i, i=1..n-1 \\
  x_1 & \mbox{, neu } x = x_n \end{array} \right.} $
  Dễ thấy f liên tục và f không có điểm bất động. Vậy $(X, \tau)$ không có tính chất điểm bất động.
• Nếu X là tập đếm được: Giả sử $X = \{ x_1; x_2; x_3; ... \}$
  Ta định nghĩa ánh xạ:
  
  $\boxed{\begin{array}{cccc} f: & X & \rightarrow & X\\
  & x_i & \mapsto & x_{i+1} \end{array}} $
  Ta có f liên tục và f không có điểm bất động. Vậy $(X, \tau)$ không có tính chất điểm bất động.
• Nếu X là tập không đếm được: ??? Mình có thể hình dung ra cách định nghĩa ánh xạ liên tục từ X vào X và không có điểm bất động. Đó là, bắt một cặp điểm bất kỳ trong X và cho ảnh của điểm này là điểm kia. Tuy nhiên, vì X không đếm được, nên liệu bắt bao giờ cho hết, và cách định nghĩa ánh xạ này mình thấy không ổn, trình bày ra cũng rối rắm. Mình muốn hỏicác bạn là có cách định nghĩa ánh xạ tốt hơn không? Hay có cách giải nào tốt hơn cho bài toán này không?

Mình xin cám ơn,

Bạn chứng minh rằng tồn tại song ánh của $X$ mà không có điểm bất động. Giả sử $f$ là song ánh của $X,$ khi đó ký hiệu $Fix(f)$ là tập các điểm bất động của $f.$ Xét quan hệ sau trên tập các song ánh : $f\geq g$ khi và chỉ khi $Fix(f)\supset Fix(g)$ và $f = g$ trên $X-Fix(f).$ Đến đây ta có thể dùng bổ đề Zorn để lấy ra phần tử cực tiểu. Phần tử ý là một song ánh mà không có điểm bất động. Dễ thấy song ánh liên tục với topo của bạn.

Chú ý: đây chỉ là ý tưởng của mình, chứ 99 chưa kiểm tra kỹ càng.

Mình cám ơn bạn rất nhiều, nhưng mình chưa thật hiểu rõ, tại sao song ánh tối tiểu đó lại không có điểm bất động?

Mình cũng dựa vào gợi ý của bạn, và thử chứng minh bài toán như sau. Tuy mình có học về bổ đề Zorn, nhưng đó chỉ là những chứng minh trong sách, chưa lần nào mình áp dụng. Nên mình rất mong bạn sẽ xem qua giùm mình phần chứng minh nhé.

Trước khi có thể áp dụng Bổ đề Zorn, mình phải kiểm tra xem với mọi dây chuyền $f_1 \ge f_2 \ge f_3 \ge ...$ đều phải có phần tử tối tiểu. Thật vậy, định nghĩa f như sau:

Với mọi $a \in X$, ta gọi $X_a = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty f_i(a)$. Theo quan hệ so sánh ta đang xét, $X_a$ chỉ có khả năng có 1 hoặc 2 phần tử. Trong trường hợp có 2 phần tử, thì chắc chắn $X_a$ một phần tử là a. Nếu $X_a$ chỉ có 1 phần tử, ta định nghĩa f(a) là phần tử đó. Nếu $X_a$ có 2 phần tử, ta định nghĩa f(a) sao cho $f(a) \neq a$

.

Có thể thấy, với f định nghĩa như vậy, f sẽ là phần tử tối tiểu của dây chuyền.

Do đó tập song ánh từ X đến chính nó với quan hệ $\ge$ có ánh xạ tối tiểu g.

• g không thể có quá 1 điểm bất động, vì nếu vậy, ta bắt 2 điểm bất động của g, và cho ảnh của điểm bất động này là điểm kia thì ta sẽ có 1 ánh xạ $g_1$ mới, và $g \ge g_1$, và $g \neq g_1$, trái với định nghĩa phần tử tối tiểu.
• g có 1 điểm bất động, giả sử là a, ta chọn một phần tử bất kỳ b trong X sao cho $b \neq a$. Khi đó ta định nghĩa ánh xạ:
  
  $\varphi(x) := \left\{ \begin{array}{ll} b & \mbox{, neu }x = a\\
  a & \mbox{, neu }x = g^{-1} (b)\\
  g(x) & \mbox{, neu }x \notin \{ a; g^{-1}(b) \}
  \end{array} \right. $
  Dễ thấy $\varphi$ song ánh, không có điểm bất động.
• g không có phần tử bất động. Ta chọn g này.

Như vậy, topo hữu hạn đóng không có tính chất điểm bất động.

-----------------------------------

Mặc dù mình ghi là "Có thể thấy, với f định nghĩa như vậy, f sẽ là phần tử tối tiểu của dây chuyền." Tuy nhiên với định nghĩa của mình thì việc chứng minh mệnh đề này có vẻ hơi luộm thuộm, mình không biết có thể định nghĩa f theo một cách khác, để việc chứng minh là đơn giản hơn không.

Mình cám ơn bạn nhiều,

Cám ơn bạn, nhận xét của bạn là chính xác và chúng ta sắp giải được rồi :D

Ta sửa lại một chút : Giả sử $X$ không đếm được, và $\mathbb{N}$ là tập con của $X.$ Khi đó vẫn như trên, ta xây dựng song ánh $f$ của $X - \mathbb{N}$. Khi đó theo chứng minh ở trên thì có thể xây dựng được sao cho $f$ có nhiều nhất một điểm bất động là $a.$ Bây giờ mở rộng $f$ lên X thành song ánh sao cho tập điểm bất động của $f$ là $\mathbb{N}\cup \{a\},$ đây là tập đếm được nên việc sắp xếp không còn khó khăn gì nữa.

@ Mình không quan tâm lắm đến sự phức tạp của lời giải nếu bài toán vẫn chưa được giải quyết :)