Số học
 

Tìm tất cả số nguyên $n >1 $ thỏa mãn mọi ước nguyên tố của $n^6-1 $ đều là ước nguyên tố của $(n^3-1)(n^2-1) $

$n^6-1=(n^3-1)(n+1)(n^2-n+1) $ Vậy để mọi ước nguyên tố của $n^6-1 $ cũng là ước nguyên tố của $(n^3-1)(n^2-1) $ thì mọi ước nguyên tố của $n^2-n+1 $ cũng là ước nguyên tố của $n-1 $ hay nói cách khác $n=2 $

Lý luận của Sơn chông chênh quá. Ngay cả với n = 2 thì em thấy là n^2 - n + 1 = 3, còn n-1 = 1 đâu có giống điều em khẳng định?

Thành thật xin lỗi thành viên của diễn đàn và thầy Dũng cho sự bất cẩn của em.
Ta có: $n^6-1=(n^3-1)(n^3+1) $ vậy để thỏa điều kiện đề bài thì mọi ước nguyên tố lẻ của $n^3+1 $ cũng là ước nguyên tố lẻ của $n^2-1 $.Mặt khác ta lại có $gcd (n-1;n^2-n+1) = 1 $ nên tập các ước nguyên tố lẻ của $n^2-n+1 $ trùng với tập các ước nguyên tố lẻ của $n+1 $.Gọi $d =gcd (n+1;n^2-n+1) \Rightarrow d \ 3 $.Tới đây ta có thể suy ra $n=1;2 $

Bài này là câu 18 đề thi Baltic way 2002, hình như bên artofproblemsolving.com cũng chưa có lời giải đúng! :))

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]