Bất phương trình hàm $f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy).$
 

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho

$$f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$

Kosovo Mathematical Olympiad 2018

Đặt $f(0)=k$ và gọi $P(x;\,y)$ là mệnh đề $f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy)$, do $P(0;\,x)$ đúng với mọi $x$ nên
\[f\left( x \right) + kx \le f\left( x \right) + k\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
Do bất phương trình $kx\le x$ đúng với mọi $x\in\mathbb R$ nên $k=0$, lại từ $P(x;\,0)$ đúng với mọi $x$ vì thế có
\[f\left( x \right) \le x + 2k = x\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(1).\]
Với việc $P(x;\,-x)$ đúng với mọi $x$ có
\[ - xf\left( x \right) \le x + f\left( { - x} \right) + f\left( { - {x^2}} \right) \le x + \left( { - x} \right) + \left( { - {x^2}} \right) = - {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(2).\]
Từ $(1)$ và $(2)$ có $f(x)=x\quad\forall\,x>0$, ta lại có $P\left(\sqrt{-x};\,-\sqrt{- x}\right)$ đúng với mọi $x<0$ vì vậy
\[x = - \sqrt { - x} f\left( {\sqrt { - x} } \right) \le \sqrt { - x} + f\left(- {\sqrt { - x} } \right) + f\left( x \right) \le f\left( x \right)\quad\forall\,x<0.\]
Điều này kết hợp với $(1)$ để có $f(x)=x\quad\forall\,x<0$, và vì vậy
\[f(x)=x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]