Khởi động chương trình luyện thi VMO 2013
 

Các bạn thân mến!

Như vậy là hầu hết các đội tuyển của các trường và các tỉnh đã được thành lập. Nhằm tạo điều kiện cho các thí sinh có cơ hội thử sức với các đề thi, phân tích, tìm tòi cách giải và rèn luyện kỹ năng trình bày, chúng tôi khởi động chương trình luyện thi VMO 2013.

Nội dung chương trình bao gồm các hoạt động sau:

1. 7 bài PreVMO2013, mỗi bài gồm 4 đề toán thuộc các lĩnh vực Đại số, Hình học, Số học, Giải tích, Tổ hợp. Đề bài sẽ được gửi vào tối thứ năm hàng tuần, bắt đầu từ ngày 1/11. Các bạn học sinh giải bài và gửi về theo địa chỉ [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...], tiêu đề mail ghi [PreVMO_Test{n}]. File word đính kèm ghi theo cú pháp PreVMO_Test{n}_Tên. Ví dụ bài Test 1 của bạn Hoàng Nam sẽ ghi là PreVMO_Test1_Hoangnam. Hạn chót của mỗi bài Test là sau đó 7 ngày. Bài sẽ được sửa và bình luận sau đó 10 ngày.

2. Bên cạnh các bài kiểm tra, sẽ có một số bài giảng chuyên đề, các bài phân tích sâu các dạng toán (có thể có trong các bài kiểm tra) của các chuyên gia trong các lĩnh vực.

3. Trong tuần lễ từ 10-16/12, chúng tôi sẽ tổ chức đợt tập huấn tập trung dành cho các đội tuyển khu vực Tp HCM và các tỉnh lân cận.

4. Để các đề luyện thi thêm phong phú, đa dạng, cũng như có nhiều bài giảng thiết thực dành cho các thí sinh, chúng tôi rất trông đợi vào sự đóng góp của các bạn. Các đề đề nghị (có lời giải chi tiết) và các chuyên đề xin gửi về địa chỉ [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...], tiêu đề viết [2VMO2013].

Hôm nay chúng tôi bắt đầu gửi Test 1. Để các thí sinh tập trung độc lập giải bài, chúng ta sẽ tạm thời chưa thảo luận các bài toán trên diễn đàn. Sau 10 ngày, khi công bố đáp án, chúng ta sẽ có thể đưa thêm các lời giải, phân tích và bình luận.

Thưa thầy cho em hỏi bài PT hàm $R^+$ là tập số thực dương hay không âm ạ?

$\mathbb{R}^+$ là tập số thực dương nhé.

Đính chính:

Chào các bạn, do sơ suất trong khâu biên tập nên đề bài 1 có sai sót. Xin các bạn sửa lại phương trình là
$x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = \sqrt[3]{2x-1} $
Xin thành thật xin lỗi các bạn vì sai sót này (phương trình với dấu + vẫn giải được, nhưng không phải là ý của bài này).

Tôi gửi đề số 2. Cảm ơn các bạn Lê Hồng Quý, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Văn Huyện đã đóng góp các bài toán rất thú vị và phù hợp.

Bài giải đề số 1 và bình luận sẽ được gửi trong ngày 11/11. Hiện nay vẫn chưa có bạn nào giải được bài phương trình hàm.

Thầy ơi, sao hôm nay là ngày 12 mà vẫn chưa có lời giải ạ thầy?

Lời giải và bình luận đề số 1

Lời giải tham khảo khác cho bài toán 4 đề 1.

Từ phương trình hàm ban đầu ta có: $f(f(x) + x^2 + 2y) + (f(x) + x^2 + 2y)^2 = f(x) + x^2 + 2(f(y)+y^2) + (f(x) + x^2 + 2y)^2 - 2y^2 $. Cố định $x = x_0 $ thì ta có với mọi $2z > (f(x_0) + x_0^2)^2 = M $ thì tồn tại $x_1,x_2,x_3 $ mà $f(x_1) + x_1^2 = f(x_2) + x_2^2 + 2(f(x_3)+x_3^2) + 2z $ (1)

Lại có $f(f(x_1) + x_1^2 + 2z) = f(x_1) + x_1^2 + 2f(z) $ (2) và $f(f(x_2) + x_2^2 + 2f(x_3) + 2x_3^2 + 4z) = f(x_2) + x_2^2 + 2f(f(x_3) + x_3^2 + 2z) = f(x_2) + x_2^2 + 2f(x_3) + 2x_3^2 + 4f(z) $ (3).

Từ (1), (2), (3) ta có $f(z) = z $. Vậy $f(z) = z $ với mọi $2z > M $. Với $2z < M $ thì ta luôn có $x $ mà $f(x) + x^2 + 2z > M $ nên ta có $f(x) + x^2 + 2z = f(f(x) + x^2 + 2z) = f(x) + x^2 + 2f(z) $. Do đó ta có $f(z) = z $. Vậy $f(z) = z $ với mọi $z > 0 $.


Bằng cách trên ta có thể giải các bài toán sau:

Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số $f:R^+ \to R^+ $ thỏa mãn $f(f(x) + x^2 + \alpha y) = f(x) + x^2 + \alpha f(y) $ với mọi $x,y \in R^+ $ với $\alpha $ là một hằng số dương.

Bài toán 2: Như bài toán 1 nhưng thay $R^+ $ bởi $R $ và $\alpha $ là một hằng số khác không.

Tôi gửi đề số 3.

Cảm ơn bạn Lê Hồng Quý và thầy Trần Quang Hùng đã gửi đề đề xuất.

Cảm ơn các bạn Lê Phúc Lữ và Nguyễn Văn Huyện cũng đã gửi đề. Chúng tôi sẽ nghiên cứu sử dụng trong các bài tới.

Lời giải và bình luận đề số 2 sẽ được gửi vào tối 19/11.

Do đề số 3 được thực hiện trong điều kiện dã chiến xa đại bản doanh nên có 1 số sai sót nhỏ, xin đính chính với các bạn:

Bài 1. Biểu thức cần chứng minh là
$ (x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4) = 1. $

Bài 2. $y_n $ là chữ số tận cùng của $x_n $.

Bài 4. Đổi chỗ N và P (P nằm trên O1, N nằm trên O2)

Xin thành thật xin lỗi các bạn (có lẽ đã làm mất thời gian của nhiều bạn, nhất là ở bài 1)

Thưa thầy, vẫn chưa có lời giải đề số 2 ạ?

Hiện nay, số bạn tham gia giải bài còn khá ít. Chú ý các bạn không cần phải gửi lời giải của tất cả các bài toán, và cũng không cần phải gửi lời giải hoàn chỉnh. Các bạn có thể gửi cho chúng tôi ý tưởng của bạn, những tiếp cận dang dở.

Các bạn phải thực sự cảm nhận bài toán, cảm nhận cả cái khó của nó thì khi đọc bài giải mới dễ ngấm, dễ hiểu, và mới thấy được mình còn thiếu bước nào để tìm ra lời giải đó.

Dưới đây là lời giải và bình luận PreVMO_Test 2.

Hình như trong file thầy cũng chưa sửa đề bài 4!!

Các bạn tự sửa giùm, vì bây giờ không vào để edit được nữa. Cảm ơn các bạn.

Tôi tiếp tục gửi Test 4 (muộn 9 giờ so với quy định :))

Cảm ơn các bạn Trần Quốc Luật, Lê Hồng Quý, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Văn Huyện đã gửi đề đề xuất. Mong tiếp tục nhận được sự cộng tác của các bạn và các thầy cô, các bạn khác.

Lời giải và nhận xét Test3 sẽ được gửi vào tối 26/11.