Chứng minh biểu thức có giá trị không đổi
 

Cho tam giác ABC đều cạnh là 1 . Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB tại M,N,P
CM $ \frac{1}{GM^4}+\frac{1}{GN^4}+\frac{1}{GP^4} $ là 1 số không đổi

Gọi $A', B', C' $ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB $ và đặt $a $ là góc tạo bởi đường thẳng đã cho với GA'. Khi đó: $GM=GA'.\cos a = r.\cos a $.
Tương tự, ta tính được:
$GN = r. \cos(a+\frac{2\pi}{3}), GP = r. \cos(a-\frac{2\pi}{3}) $.
Khi đó, ta có:
$r^4.T=\frac{r^4}{GM^4}+\frac{r^4}{GN^4}+\frac{r^4} {GP^4} = \cos^4 a+\cos^4 (a-\frac{2\pi}{3})+\cos^4 (a+\frac{2\pi}{3}) $

Đến đây, ta chứng minh biểu thức này không đổi.
$\cos^4 a+\cos^4 (a-\frac{2\pi}{3})+\cos^4 (a+\frac{2\pi}{3})\\ =\frac{1}{4}[(1+ \cos 2a)^2+(1+ \cos (2a+\frac{4\pi}{3}))^2+(1+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3}))^2] = \\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}[ \cos^2 2a+\cos^2 (2a+\frac{4\pi}{3})+\cos^2 (2a-\frac{4\pi}{3})] + \\ + \frac{1}{2}[ \cos 2a+\cos (2a+\frac{4\pi}{3})+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3})] $.

Ta chứng minh rằng:
$\cos 2a+\cos (2a+\frac{4\pi}{3})+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3})=0 $
và
$\cos^2 2a+\cos^2 (2a+\frac{4\pi}{3})+\cos^2 (2a-\frac{4\pi}{3}) = \frac{3}{2} $ nữa là xong.
Việc biến đổi tiến hành tương tự như trên.
Cuối cùng, ta có: $T=\frac{9}{8r^4} $ không đổi. Chú ý rằng, ở đây $r=\frac{\sqrt{3}}{6} $ nên $T=162} $.

2 đẳng thức trên có thể chứng minh như sau:
$\cos 2a+\cos (2a+\frac{4\pi}{3})+ \cos (2a-\frac{4\pi}{3}) $
$= \cos 2a -\frac{1}{2} \cos 2a +\frac{\sqrt3}{2} \sin 2a-\frac{1}{2} \cos 2a -\frac{\sqrt3}{2} \sin 2a=0 $
$\cos^2 2a+\cos^2 (2a+\frac{4\pi}{3})+\cos^2 (2a-\frac{4\pi}{3})=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \left( \cos 4a+\cos(4a+\frac{8\pi}{3})+\cos (4a-\frac{8\pi}{3}) \right) $
Lại có
$\cos 4a+\cos(4a+\frac{8\pi}{3})+\cos (4a-\frac{8\pi}{3}) $
$=\cos 4a -\frac{1}{2} \cos 4a +\frac{\sqrt3}{2} \sin 4a-\frac{1}{2} \cos 4a -\frac{\sqrt3}{2} \sin 4a=0 $
Từ đó ta suy ra đpcm.