Tính tích phân Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ thoả mãn \[f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \quad \forall {\mkern 1mu} x \in\mathbb R\] Tính $\displaystyle{I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right)dx}} .$ |
Trích:
\[\begin{array}{l} dI\left( x \right) &= dF\left( x \right) - dF\left( { - x} \right) = f\left( x \right)dx - f\left( { - x} \right)d\left( { - x} \right)\\ &= \left( {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right)dx\\ &= \sqrt {2 + 2\cos 2x} dx\\ &= 2\left| {\cos x} \right|dx \end{array}.\] Kết hợp $I(0)=0$ để có \[\begin{array}{l} I &= I\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {dI\left( x \right) = 2} \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\cos x} \right|dx = 2} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} } \\ &= 2\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - } \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{3\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} } \right) = 6. \end{array}\] |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:38 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.