Bài tập về dãy số
 

1, $x_1>0,x_{n+1}=\ln (x_n+1) $. Chứng minh $\lim_{n\to\infty}nx_n=2 $.

Các bạn giải xong tớ post bài khác, coi như giờ luyện tập đi. :D

Dãy $x_n $ là dãy giảm tiến về 0, áp dụng định lý Stolz có $\lim_{n\to\infty}nx_n=\lim_{n\to\infty}n\frac{1}{1/x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1/x_{n+1}-1/x_n} $

$=.\lim_{n\to\infty}\frac{x_n.ln(1+x_n)}{x_n-ln(1+x_n)} $

Giờ thì chỉ cần chứng tỏ $\lim_{x\to 0}\frac{x.ln(1+x)}{x-ln(1+x)} $=KQ là xong, chuyện này dễ.

Bạn post cụ thể ra, sao dãy giảm, sao tiến đến 0? Và tính cái giới hạn cuối cùng ra đi.

Cm dãy giảm =đạo hàm,-->tồn tại GH,
cần áp dụng thêm BDt:$x-x^2/2+x^3/3<ln(x_{n}+1)<x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 $
---------------------

Áp dụng b đ t này làm gì em? :D Lời giải của Grisma ổn rồi, chỉ thiếu cái đoạn lằng nhằng anh nói trên kia thôi. Giờ bài tập mà giải linh tinh quá. :D Anh chưa nhận được PM của em đâu, chắc em chưa biết cách PM.

Dãy giảm vì có cái ln (x+1)<x với mỗi x>0 . Giới hạn dãy bằng 0 là vì x=ln (x+1) chỉ có độc một nghiệm 0 trên $[0,\infty) $ . Bác n.t.tuan cho bài khác đi! :D

Nó bằng $\lim_{x\to 0}\frac{\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}}{1-\frac{1}{1+x}}=\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)\ln (x+1)+x}{x}=\lim_{x\to 0}\left(\ln (x+1)+2\right)=2. $ Ôi, dễ thật nhở? :D

==================================

2, $x_1>0,x_{n+1}=x_n2^{-x_n} $. Tính $\lim_{n\to\infty}nx_n $.

lim VNTST 1990
 

cho bốn số thực $A,B,a,b $. Xét dãy $(x_n) $ xác định bởi
$x_1=a, x_2=b,
x_{n+1}= A (x_n)^{2/3} + B (x_{n-1})^{2/3} $
Chứng minh dãy tồn tại $lim $ và tính $lim $

Xem ở đây //http://mathscope.org/forum/showthread.php?t=726

Dãy số!
 

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1,x_{n+1}=2x_n+\sqrt{3x_n^2-3} $. Chứng minh $x_{3n+1}=x_{n+1}(2x_{2n+1}-1) $.

PS: Nếu không tìm công thức tổng quát thì có thể chứng minh được không?

Lạ nhỉ? Mình biết một cách tuyến tính hoá, rồi dùng công thức tổng quát thôi. :D

Giới hạn dãy số!
 

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1,x_{n+1}=x_n+\sqrt[3]{x_n} $. Chứng minh rằng tồn tại các số $a,b $ sao cho $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n}{an^b}=1 $

Link hay //http://www.mathscope.org/forum/showthread.php?t=1069.

Tìm x_n!
 

Xét dãy số $(x_n),n\geq 1 $ thỏa mãn $ x_2 = 0; x_3 = \frac13 $ và mọi $n\geq 2 $: $(n + 2)x_{n + 2} + (2n + 1)x_{n + 1} + (n - 1)x_n = 0 $. Tìm $x_n $.

Vốn không thích mấy bài dãy số nhưng bài này sai phân, có vẻ dễ nên thử một tẹo
Đơn giản thành
$(n+2)y_{n+1}+(n-1)y_n=0 $ với $y_n=x_{n+1}+x_n $
Suy ra
$y_{n+1}/y_n=(-1)(n-1)/(n+2) $
Cứ thế nhân theo vế được $y_n $, hình như ra một phân thức mẫu bậc 3, tiếp tục với $x_n $ chắc là được. Mình nghĩ thế, cũng chưa có time để viết chi tiết, liệu có khúc mắc gì trong cái chỗ chi tiết ấy không nhỉ, LET cho ý kiến cái

Mà $x_1 $ hình như chả để làm gì nhỉ.