Đề thi IMO 2017
 

Dưới đây là đề thi ngày thứ 1.


Bài 1. Với mỗi số nguyên dương ${{a}_{0}}>1 $, xác định dãy số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots $ sao cho với $n\ge 0$ thì
\[{{a}_{n+1}}=\left\{\begin{aligned}
& \sqrt{{{a}_{n}}}\text{ , }\sqrt{{{a}_{n}}}\in \mathbb{Z} \\
& {{a}_{n}}+3,\sqrt{{{a}_{n}}}\notin \mathbb{Z} \\
\end{aligned}\right.\]

Xác định tất cả các giá trị ${{a}_{0}}$ sao cho tồn tại một số nguyên dương $A$ mà ${{a}_{n}}=A$ với vô hạn giá trị tự nhiên của $n.$

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
\[f\left( f(x)f(y) \right)+f(x+y)=f(xy)\] với mọi $x,y\in \mathbb{R}.$

Bài 3. Có một con thỏ và một thợ săn chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid. Con thỏ xuất phát tại điểm ${{A}_{0}}$ còn thợ săn xuất phát tại ${{B}_{0}}$ cùng một lúc. Sau $n-1$ lượt chơi, vị trí của thỏ và của thợ săn lần lượt là ${{A}_{n-1}},{{B}_{n-1}}$. Ở lượt cuối cùng của trò chơi, có ba điều sau lần lượt xảy ra:
(1) Con thỏ di chuyển bí mật đến một điểm ${{A}_{n}}$ mà khoảng cách từ ${{A}_{n-1}}$ đến ${{A}_{n}}$ là $1.$
(2) Một thiết bị thăm dò báo vị trí ${{P}_{n}}$ cho thợ săn, biết khoảng cách từ ${{P}_{n}}$ đến ${{A}_{n}}$ không vượt quá $1.$
(3) Thợ săn di chuyển từ vị trí ${{B}_{n-1}}$ đến vị trí ${{B}_{n}}$ cách nhau một khoảng là $1.$
Hỏi thợ săn có thể luôn chọn được cách di chuyển thích hợp không để sau ${{10}^{9}}$ lượt chơi, với mọi cách đi của thỏ và mọi vị trí mà thiết bị thăm dò trả về, đều có thể đảm bảo rằng khoảng cách từ thợ săn đến thỏ không vượt quá $100$?

Link tải file PDF:

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

IMO 2017 at Bazil.
Day2 (IMO2017)

Ket qua IMO2017: 4V +1B+1D