Ma Trận đối xứng và phản đối xứng
 

Cho A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất 2 ma trận P và Q ( cấp n) sao cho P đối xứng, Q phản đối xứng và A = P + Q

Giả sử $A=(a_{ij})_{n\times n}$. Đặt $P=(b_{ij})_{n\times n}$ là ma trận đối xứng với $b_{ij}=\dfrac{a_{ij}+a_{ji}}{2}$, với mọi $i<j$ và $b_{ii}=a_{ii}$. $Q=(c_{ij})_{n\times n}$ là ma trận phản đối xứng với $c_{ij}=\dfrac{a_{ij}-a_{ji}}{2}$ ($i<j$). Khi đó dễ dàng kiểm tra lại $A=P+Q$

Bài này có thể viết ngắn gọn hơn $A=\frac{(A-A^{T})}{2}+\frac{(A+A^{T})}{2}$ trong đó $P=\frac{(A+A^{T})}{2}$ và $Q=\frac{(A-A^{T})}{2}$.

Dạo này mod không lên mạng thường xuyên hay là kỉ luật của diễn đàn không còn nữa hay sao mà các bài viết của bạn vẫn tồn tại được!

Có thể nhìn như bên dưới để thấy "vì sao" có kết quả đó cũng như sự tồn tại duy nhất.

Ta tìm các ma trận đối xứng $P$ và ma trận phản xứng $Q$ sao cho $A=P+Q$.

Điều kiện cần:

Khi đó $A^T= P^T+Q^T=P-Q.$ Do đó, ta có hệ phương trình
$$\begin{cases} P+Q=A,\\ P-Q=A^T.\end{cases}$$
Hay $P= \frac{1}{2}\left(A+A^T\right), Q=\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right).$

Điều kiện đủ: dễ dàng kiểm tra lại KQ trên.