Tính giá trị biểu thức
 

Cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường tròn nội tiếp. Tính giá trị của biểu thức sau:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $

Áp dụng công thức Leibniz, ta có
$IA^2+IB^2+IC^2=3IG^2+GA^2+GB^2+GC^2 \; (1) $
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Gọi $D,E,F $ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $ với các cạnh, ta có $AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CD=CE=p-c $
$\Rightarrow IA^2=r^2+(p-a)^2,IB^2=r^2+(p-b)^2, IC^2=r^2+(p-c)^2 \; (2) $
Từ $(1) $ và $(2) $, chú ý rằng $IG=r $, ta có
$(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3} $
$\Leftrightarrow 5(a^2+b^2+c^2)=6(ab+bc+ca) $
$\Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=\frac{6}{5} $

Giá trị $\frac{6}{5} $ tính được như trên cũng chính là giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho ứng với mọi tam giác ABC có trọng tâm G không nằm ngoài đường tròn nội tiếp.

Áp dụng các công thức $9IG^2=p^2-16Rr+5r^2; a^2+b^2+c^2=2p^2-8Rr-2r^2; $ $ ab+bc+ca =p^2+4Rr+r^2 $, ta cũng có kết quả cần tìm

Như vậy để tính $IG^2 $ ta có thể áp dụng 2 công thức $IA^2+IB^2+IC^2=3IG^2+GA^2+GB^2+GC^2 $ và $IG^2=\frac{\sum a\cdot GA^2}{\sum a}-\frac{\sum abc^2}{\left(\sum a\right)^2} $