Chứng minh ${{\left( n+1 \right)}^{n+1}}\ge 16n{{\left( n-1 \right)}^{n-1}}$
 

Chứng minh ${{\left( n+1 \right)}^{n+1}}\ge 16n{{\left( n-1 \right)}^{n-1}}\,\,\forall n\in \mathbb{N},\,\,n\ge 3$

Ta có
\[{\left( {n + 1} \right)^{n + 1}} \geqslant 16n{\left( {n - 1} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{n + 1}}{{n - 1}}} \right)^{n + 1}} \geqslant \frac{{16n}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {1 + \frac{2}{{n - 1}}} \right)^{n + 1}} \geqslant \frac{{16n}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}\]
Hơn nữa ${\left( {1 + \frac{2}{{n - 1}}} \right)^{n + 1}} \geqslant 1 + \frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{{n - 1}} \geqslant 3$ mà
\[3 \geqslant \frac{{16n}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}},\forall n \geqslant 8\]
Nên với $n \geq 8$ thì bđt đã cho là đúng.
Công việc còn lại chỉ là kiểm $n=3,4,5,6,7$ :-h:[

Có thể giảm thiểu số trường hợp trong lời giải của bạn trên bằng đánh giá $(1+x)^{n} \ge 1+C_n^1x+C_n^2x$ với mọi $x>=0,$ $n \ge 2.$