Bài tổ hợp dễ một nửa
 

Có một bài tổ hợp mình mới nghĩ ra câu a, mong mọi người giúp phần còn lại
Cho A={1,2,3...,10},tập X là tập con của A gọi là có tính chất T nếu với mọi x,y thuộc T ta đều có x+y$\neq $11.
a)X có nhiều nhất là bao nhiêu phần tử.
b)Tính số lượng tập X có tính chất trên.

Với mỗi phần tử $ x\in X ---> 11-x $ không thuộc X , do đó X có nhiều nhất 5 phần tử , chia 10 số ni ra 5 cặp (1,10); (2,9)...(5,6) ---> gọi mỗi cặp này là một cặp đẹp
Ta tính số tập ko có tính chất T tức là chứa các cặp đẹp
- Số tập chứa 1 cặp đẹp :
Có 5 cách chọn 1 cặp đẹp , với các cặp đẹp còn lại , hoặc lấy 1 trong 2 số hoặc ko lấy số nào , do đó có 3 khả năng chọn lựa , vậy có $5*3^4 $
Tương tự , số tập chứ 2 cặp đẹp $C^2_5.3^3 $
Số tập chứa 3 cặp đẹp $ C^3_5.3^2 $
Số tập chứa 4 cặp đẹp $C^4_5.3 $
Số tập chứ 5 cặp đẹp là 1 , vậy số tập thỏa mãn đề bài $2^{10}-...=243 $

Cũng may mà đã hết thời hạn rồi , cái này đề thi tài năng THPT trên trang : truongtructuyen.vn đây mà . Sao bạn anhvu post lên trước khi hết thời hạn . Bài này cũng bình thường thôi ! Chắc tại đây là đề vòng 1 nên 5 bài khá dễ !

b. Ta có các 5 cặp (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6).

Một tập con X và một cặp (a,b) thì có 3 quan hệ: X hoặc chứa a, hoặc chứa b, hoặc không chứa cả a và b. Và có 5 cặp nên số tập con X là $3^5=243 $

Tổng quát cho n thì số tập X là $2^{n-2[n/2]}.3^{[n/2]} $

luc đầu tui hiểu nhầm là X chỉ có 2 phần tử, sorry nha để nghĩ lại đãx(

APMO 1994
 

Có tồn tại hay không vô số điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm bât kỳ thẳng hàng và khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là số hữu tỷ

Câu trả lời là có
Thật vậy, với 2 điểm $A(a) $ và $B(b) $ thuộc đường tròn lượng giác thì $AB = 2Rsin\frac{\hat {AOB}}{2} = 2(sin{\frac{a}{2}}cos{\frac{b}{2}} - sin{\frac{b}{2}}cos{\frac{a}{2}}) $

Vậy các đoạn thẳng có độ dài hữu tỉ, nếu với mỗi điểm A(a) được chọn thỏa mãn $sin{\frac{a}{2}} $ và $cos{\frac{a}{2}} $ là số hữu tỉ
Và điều này đương nhiên thực hiện được vì có vô số cặp số nguyên $(p,q) $ thỏa mãn $p^2 + q^2 $ là số chính phương, và ta chọn $sin{\frac{a}{2}} = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2}}, cos{\frac{a}{2}} = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}} $