Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 

${x^2} + 2xy + 2{y^2} - 10yz + 25{z^2} = 567 $

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(y-5z)^{2}=567 $
nhận thấy mổi số chính phương đều chia 4 thì dư 0 or 1
VT là tổng của 2 số chính phương khi chia cho 4 thi dư 0,1 or 2
còn VP chia 4 dư 3
-> pt vn

$\Leftrightarrow (x+y)^2 + (y - 5z)^2 = 567 \equiv 0 (mod{7}) $
Áp dụng bổ đề "1 SCP chia 7 dư 0,1,4,2" ta suy ra $x + y \equiv y - 5z \equiv 0 (mod{7}) $.
Mặt khác $x+y ; y-5z \le 23 $ và $\sqrt{567 - t^2} \notin \mathbb{Z} \forall t \in \{0;7;14;21} $.
Vậy suy ra không tìm đc x;y;z thoả đề bài.

Nhận thấy mổi số chính phương đều chia 4 thì dư 0 or 1
VT là tổng của 2 số chính phương khi chia cho 4 thi dư 0,1 or 2
còn VP chia 4 dư 3
-> pt vn
tại sao lại bik phân tích như vậy ?

Bạn xét tính chất phụ sau là biết sao lại phân tích như thế:"Một số chính phương chia 4 thì dư 0 hoặc 1".
Mình nghĩ chứng minh cũng dễ mà.
Xét th số đó là chẵn thì số chính phương của nó sẽ có dạng $(2n)^2=4n^2 $chia hết cho 4 (tức chia 4dư 0).
Xét th số đó là lẻ thì số chính phương của nó sẽ có dạng $(2n+1)^2=4(n^2+n)+1 $chia cho 4 dư 1.
Từ tính chất đó ta có thể giải đc bài toán.:))