Có tồn tại hay không?
 

Cho 10 số nguyên dương $a1.a2...a10 $
Có tồn tại hay không Ci$\in ${0:1:-1}và i={1,...10} và không đồng thời bằng 0 sao cho:
A=$\sum_{i=1}^k a_iC_i $ chia hết cho 1023. với (k=10)

Gợi ý: $1023=2^{10}-1. $

Xét bộ các số $ a_1.c_1 + a_2.c_2 + ... + a_k.c_k $ với $c_i = 0, 1 $ và các $c_i $ không đồng thời bằng 0.

Dễ thấy có tất cả $2^k - 1 $ số. Trong bộ số này hoặc tồn tại một số chia hết cho $ 2^k - 1 $ khi đó bài toán được chứng minh, hoặc tồn tại 2 số có cùng số dư trong phép chia cho $ 2^k - 1 $. Giả sử 2 số đó là : $ a_1.c_i_1 + a_2.c_i_2 + ... + a_k.c_i_k $ và $a_1.c_j_1 + a_2.c_j_2 + ... + a_k.c_j_k $
Thế thì $ a_1.c_i_1 + a_2.c_i_2 + ... + a_k.c_i_k - a_1.c_j_1 - .. - a_k.c_j_k $= $a_1(c_i_1 - c_j_1) + ... + a_k(c_i_k - c_j_k) $ chia hết cho $ 2^k - 1 $. Mặt khác do $ c_i = 0, 1 -> c_i_m - c_j_m = 0, - 1, 1 $. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.