Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Các Đề Thi Khác (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=152)
-   -   Đề thi OLP học sinh THPT 2018 (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51796)

huynhcongbang 11-04-2018 02:42 PM

Đề thi OLP học sinh THPT 2018
 
4 Attachment(s)
Dưới đây là đề thi của khối THPT, tổ chức trong khuôn khổ chương trình của Olympic SV. Đề năm nay có 2 chủ đề: Đại số (khai triển Abel) và Tổ hợp (directed graph).

* MÔN ĐẠI SỐ

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

* MÔN TỔ HỢP

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

(Nguồn: thầy Văn Phú Quốc, THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam).

muaxl2xo 16-04-2018 08:10 PM

Tổ Hợp:
- PT.2:
a) G thắng nhiều con nhất, nếu thắng tất cả thì là hoàng đế nên cũng là vua. Ngược lại G thắng p con và thua q con. Trong tập con thua, ko thể có con nào thắng tất cả các con trong tập con thắng vì khi đó con đó sẽ thắng ít nhất p + 1 con, mâu thuẫn. Vậy mọi con trong tập con thua thì luôn thua 1 con nào đó trong tập con thắng. Tức là G luôn thắng "bắc cầu" bất kì con nào trong tập con thua. Vậy G là vua.

b) Nếu G thua 1 con nào đó trong đàn. Nếu G thua tất cả thì hiển nhiên G thua vua. Ngược lại, giả sử G thua p con và thắng q con trong đàn, p, q nguyên dương. Xét riêng trong tập p con kia, luôn tồn tại con thắng nhiều nhất M và M là vua của tập p con đó. M cũng là vua của cả đàn lớn, thật vậy, M là vua của đàn p con, M cũng thắng G, và G thắng tất cả các con trong đàn q con, nên bất kì con nào trong đàn q con trên thì M cũng thắng hoặc nếu thua thì cũng thắng "bắc cầu" qua G. Vậy M là vua của toàn đàn. --> dpcm.

- PT.4: Dựa vào PT.2 dễ suy ra. Nếu có đúng 2 vua A thắng B chẳng hạn thì phải tồn tại M để B thắng M và M thắng A. Như vậy A thua M nhưng A ko thua bất kì vua nào cả, mâu thuẫn.
- PT.3: Luôn có vua. Theo PT.4 thì ko thể có đúng 2 vua, cần c/m cũng ko thể có đúng 1 vua. Nếu có đúng 1 vua thì vua này phải thắng tất cả các con, vì nếu thua 1 con nào đó thì vua này cũng phải thua 1 vua khác nào đó, tức có thêm 1 vua khác, mâu thuẫn. Vậy vua này là hoàng đế, cũng mâu thuẫn vì đàn ko có hoàng đế. Vậy cũng ko thể có đúng 1 vua đc.

- PT.5: Nếu toàn bộ đàn là vua. Thêm vào 2 con A và B với kịch bản là A thắng B, nhưng A thua tất cả đàn kia, còn B thắng tất cả đàn kia. Toàn bộ đàn mới đều là vua.

- PT.8:
+) k = 1, n bất kì: đúng với kịch bản có 1 hoàng đế.
+) k = 3, n bất kì >= 3: Kịch bản là có 3 con thắng vòng tròn nhau, và cả 3 thắng tất cả các con khác.
+) k = 4, n > 4: Số con >= 5, nên xét kịch bản có 5 con và trong 5 con này có đúng 4 vua (dễ vẽ đc đồ thị như vậy), và 5 con này thắng mọi con khác ngoài bộ này.
+) k = 5 hoặc k = 6 và n bất kì: Luôn tồn tại bộ 5 con đều là vua hoặc bộ 6 con đều là vua (dễ vẽ đc đồ thị như thế). Và bộ 5 hay 6 con này thắng mọi con khác ngoài bộ.
+) k lẻ > 5, n bất kì: Áp dụng PT.5
+) k chẵn > 6, n bất kì: Cũng áp dụng PT.5


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:13 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 6.62 k/6.87 k (3.67%)]