Topic hình học phẳng I
 

Mình lập topic này,mong mọi người đóng góp nhiều bài tập hình phẳng hay để mọi người cùng thảo luận
Trước tiên là một bài đơn giản:
Bài 1: Cho $\Delta ABC $ và $D,E,F $ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C $ xuống các cạnh tương ứng.Đường thẳng qua $D $ song song với $EF $ cắt $AB,AC $ lần lượt tại $P,Q $.$EF $ cắt $BC $ tại $R $.Chứng minh rằng : đường tròn ngoại tiếp$\Delta PQR $ đi qua trung điểm của $BC $

$D,E,F,M $ đồng viên $\Rightarrow \overline{RD}.\overline{RM}= \overline{RE}.\overline{RF} $
$B,E,F,C $ đồng viên $\Rightarrow \overline{RB}.\overline{RC}= \overline{RE}.\overline{RF} $
$\Rightarrow \overline{RB}.\overline{RC}=\overline{RD}. \overline{RM} \; (1) $
$(PQ,PA) \equiv (FE,FA) \equiv (CA,CB) \pmod{\pi} $
$\Rightarrow B,C,P,Q $ đồng viên
$\Rightarrow \overline{DB}. \overline{DC}=\overline{DP}.\overline{DQ} $
Để chứng minh $P,Q,R,M $ đồng viên thì ta cần chứng minh $\overline{DP}.\overline{DQ}= \overline{DR}. \overline{DM} $
$\Leftrightarrow \overline{DB}.\overline{DC}= \overline{DR}.\overline{DM} $
Biến đổi từ $(1) $, ta có ngay đpcm
------------------------------
Bài 2:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Dễ thấy: $\widehat{AIB} = \frac{\widehat{AOB}}{2} + \frac{\widehat{COD}}{2} $
$\Rightarrow cos \alpha = (cos \frac{AOB}{2})(cos \frac{COD}{2}) - (sin \frac{AOB}{2})(sin \frac{COD}{2}) $
$= \sqrt{(1- \frac{a^{2}}{4R^{2}})(1- \frac{b^{2}}{4R^{2}})}- \frac{ab}{4R^{2}} $
$\Leftrightarrow (4R^{2}cos \alpha + ab)^{2} = (4R^{2} - a^{2})(4R^{2} - b^{2}) $
$\Leftrightarrow 4R^{2}(a^{2} + b^{2} + 2ab\cdot cos \alpha) = 16R^{4}\cdot sin^{2} \alpha $
$\Leftrightarrow R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + 2ab\cdot cos \alpha}}{2sin \alpha} $.


Bài 3 :
Cho $\Delta ABC $ có $H $ là trực tâm. Đường tròn qua $B, C $ cắt $AB, AC $ lần lượt tại $D, E $. Gọi $F $ là trực tâm $\Delta ADE $; $I $ là giao của $BE $ và $CD $. Chứng minh rằng $I, H, F $ thẳng hàng.

bạn này quên công thức cộng góc :))
kết quả chỉ cần sửa dấu $- $ ở tử thành dấu $+ $ là ok

Bài 3 là 1 bài kinh điển đã có rất nhiều cách giải trên Mathlinks rồi.Một lời giải ngắn gọn là dùng phương tích. $\overline{IB}.\overline{IE} = \overline{IC}.\overline{ID} \Rightarrow I $ nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn nhận $BE;CD $ làm đường kính.Vậy suy ra được điều phải chứng minh

[B]Problem 4 :[/B] Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp tam (I). Tiếp điểm của (I) trên BC,CA, AB lần lượt là D, E, F. DE cắt AB ở P. Một đường thẳng qua C cắt AB , FE lần lượt ở N,M. PM cắt AC ở Q. CMR: IN vuông góc với FQ
Cảm ơn mọi người đã tích cực đóng góp cho toppic

Please: vẽ hình khi giải thanks

Bài 5:

Cho tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn tâm $O. E $ thuộc cung $BC $ không chứa $A $ và không trùng $B,C $. $AE $ cắt các tiếp tuyến tại $B,C $ của $(O) $ tại $M,N. CM $ cắt $BN $ tại $F $. cmr $EF $ đi qua điểm cố định.

Tìm tiêu chuẩn cho tam giác
 

Bài 6:
Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm của tam giác. Tìm điều kiện cần và đủ đối với các góc của tam giác để 9 điểm: chân các đường cao của tam giác, trung điểm các cạnh của tam giác, trung điểm các đoạn thẳng HA, HB, HC là đỉnh của một đa giác đều.
(Bài này tôi có post lên diễn đàn lâu rồi với nick khác nhưng chưa ai giải, đây là bài tôi đề xuất được từ khi học đội tuyển lớp 12, các em học sinh thử sức)

Gọi K là giao điểm của tiếp tuyến tại B và C của (O). AK cắt (O) tại J.
AM, AK lần lượt cắt BC tại P, Q.
FK cắt BC,AM lần lượt tại L, I.
Ta có (LPBC)=-1, suy ra (EL, EP, EB, EC)=-1.
Lại có (EJ, EA, EB, EC)=-1 nên L, E, J thẳng hàng.
Mặt khác (EL, EI, EF, EK)=(EJ, EA, EQ, EK)=-1 nên theo phép chiếu xuyên tâm E ta thu được F, E, Q thẳng hàng.
Vậy EF đi qua Q cố định.

Very nice,thanks!!!
Còn cách của mình như sau:
Cũng gọi $K $ là giao điểm 2 tiếp tuyến. $Q $ là giao điểm của $AK $ với $BC $
Xét cực-đối cực với $(O) $
Gọi $T $ là cực của $AB, J $ là cực của $CE, L $ là giao điểm của $AE $ với $BC $
Có $T,L,J $ thẳng hàng
Gọi $S $ là giao điểm của $FK $ với $BC $,có $H $ và $L $ đối cực cùng với $K,L $ đối cực ta có $L $ là cực của $FK $
Do đó $FK,CE,AB $ đồng qui tại $G $
Áp dụng định lí Papus cho 2 bộ 3 điểm $(G,B,A) $ và $(N,K,C) $ cho ta đpcm.

Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp thỏa AB.CD=AD.BC. Đường tròn (C) qua A, B và tiếp xúc với BC, đường tròn (C') qua A, D và tiếp xúc CD. Chứng minh (C) và (C') giao nhau tại trung điểm BD.

Gọi $E $ là trung điễm $BD $.Ta chỉ cần chứng minh $\triangle ABE \sim \triangle ACD $ mà điều này thì có thể dựa vào Ptolemy và Điều kiện của đề bài

Bài 8: Cho tam giác ABC. Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng ID, EF và trung tuyến AM đồng quy tại 1 điểm.

Đây là bài toán trong đề luyện VMO 2011 số 2: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Trong file bên dưới cũng có bài toán này
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]