Chứng minh số chính phương
 

Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn $a<b \le c <d, ad =bc, \sqrt{d}-\sqrt{a} \le 1 $.
Chứng minh a là số chính phương.

Theo bổ đề phân tích thì tồn tại 4 số nguyên dương $x;y;z;t $ sao cho $a=xy;b=xz;c=yt;d=zt \Rightarrow y<z;x<t \Rightarrow y+1 \leq z;x+1 \leq t $
Mặt khác ta cũng có $\sqrt{zt} - \sqrt{xy} \leq 1 \Rightarrow \sqrt{(x+1)(y+1)} - \sqrt{xy} \leq 1 \Rightarrow x+y \leq 2\sqrt{xy} $.Tới đây ta nhận được điều phải chứng minh