Đạo hàm tại 0
 

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn với mọi $x$ thì $$ \sin^3 x - x^4 \le x^2 f(x) \le \sin^3 x + x^4.$$ Tính $f'(0).$

Vì $f$ khả vi trên $\mathbb{R}$ nên $f$ liên tục tại $x=0$. Từ giả thiết ta có
\[\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}} - {x^2} \leqslant f\left( x \right) \leqslant \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^2}}} + {x^2}\]
với mọi $x \neq 0$. Cho $x \to 0$ ta sẽ có $f\left( 0 \right) = 0$.
Ta có nếu $x>0$ thì
\[\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^3}}} - x \leqslant \frac{{f\left( x \right)}}{x} \leqslant \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^3}}} + x\]
Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1$.
nếu $x<0$ thì
\[\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^3}}} - x \geqslant \frac{{f\left( x \right)}}{x} \geqslant \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{x^3}}} + x\]
Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1$.
Vậy ${f^\prime }\left( 0 \right) = 1$. :sexygirl: