Phương trình nghiệm nguyên có chứa giai thừa
 

Giải các phương trình nghiệm nguyên dương dưới đây

1. $(y+1)^x=y!+1 $
2. $1!+2!+...+(x+1)!=y^{z+1}. $

Xét hai trường hợp sau

1. Nếu $z=1$, có $1!+2!+..+5!=153$ nên với $x\ge 4$ thì $1!+2!+...+(x+1)!$ có tận cùng là 3, do đó không thể là số chính phương. Thử trực tiếp, thấy $x=2$ thoả. Khi đó có $y=3$ và $z=1$.
2. Nếu $z>1$, có $1!+2!+..+8!=46233$ là số chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 27, do vậy $x\le 7$. Thử trực tiếp $x\in\{1;\,2;\,\ldots ;\,7\}$, ta không thấy có $x$ nào thoả.

Tóm lại chỉ có $(x;\,y;\,z)=(2;\,3;\,1)$ là bộ nghiệm duy nhất.

PS. Bài còn lại dùng Wilson và đánh giá bất đẳng thức.

Bài 1. Theo định lý Wilson có $y+1$ là số nguyên tố, tức $y=p-1$ với $p$ là số nguyên tố và
\[p^x=(p-1)!+1\]
Xét các trường hợp sau

1. Nếu $p-1$ cũng là số nguyên tố, khi đó $p=3$ và có $x=1$ và $y=2$.
   
   
2. Nếu $p-1=1$ tức $p=2$ và cũng có $x=1$ và $y=1$.
   
   
3. Nếu $p=5$, ta có được $x=2$ và $4$.
   
   
4. Nếu $p-1$ là hợp số và $p\ne 5$, khi đó $p\ge 7$ có $(p-2)!\;\vdots\;p-1$ nên $p^x-1\;\vdots\;(p-1)^2$ mà
   \[{p^x} - 1 = \left( {p - 1} \right)\left( {{p^{x - 1}} + \ldots + p + 1} \right)\]
   Lại để ý $p\equiv 1\pmod{p-1}$ từ đó
   \[{p^{x - 1}} + \ldots + p + 1 \equiv {1^{x - 1}} + \ldots + 1 + 1\equiv x\pmod{p-1}\]
   Từ đó $x\;\vdots\;p-1$ nên $x\ge p-1$ và kéo theo
   \[{p^x}\ge p^{p-1} > p.(p-2)! = \left( {p - 1} \right)! + \left( {p - 2} \right)! > \left( {p - 1} \right)! + 1.\]
   Vậy trường hợp này không xảy ra.

Tóm lại, các cặp $(x;\,y)$ thoả mãn là $(1;\,2),\;(1;\,1)$ và $(2;\,4)$.