Mở rộng trường
 

Vì 2 bài này gần như nhau nên em muốn đăng lên một lúc 2 bài ạ.
1) Cho $L_{1}$ và $L_{2}$ là những mở rộng trường $K$. Giả sử $L_{1}$ và $L_{2}$ đều nằm trong một trường $F$ nào đó. Chứng minh rằng $L_{1}L_{2}$ là mở rộng hữu hạn trên $K$ khi và chỉ khi $L_{1}$ và $L_{2}$ đều là các trường mở rộng hữu hạn trên $K$.
2) Cho mở rộng hữu hạn $F/K$ và $L_{1}, L_{2}$ là các trường con của$F$ chứa $K.$
a) chứng minh rằng $[L_{1}L_{2} :K] \le [L_{1} :K][L_{2} :K]$
b) chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi $[L_{1} :K]$ và $[L_{2} : K]$ là các số nguyên tố cùng nhau.
c) cho ví dụ chứng tỏ $[L_{1}L_{2}:K]<[L_{1} :K][L_{2} :K].$
Ở bài 1 em có được hướng dẫn là gọi ${x_i}$ là cở sở của $L_{1}$ và ${y_j}$ là cơ sở của $L_{2}$ chứng minh ${x_{i}y_{j}}$ là tập sinh của $L_{1}L_{2}$. Nhưng khi em lấy phần tử $\frac{f(y_{1}, y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ thì em lại không biết cách biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ${x_{i}y_{j}}.$

Okay em,
Bài 1:

Anh cũng đặt câu hỏi y chang em, nãy giờ anh đi kiếm sách mới ra câu trả lời cho em :P. Đúng hơn là 1 đoạn người ta giảng về cấu trúc của mấy thằng mở rộng trường hữu hạn này.

Cũng chẳng qua hiển nhiên đâu, công sức lắm đấy.
I/ABstract
Anh với em gặp chung 1 cái khó chịu là làm sao, biến 1 tính chất trên Không gian Vector về 1 tính chất trên Trường.
Phía dưới thì người ta chỉ ra mối liên hệ.

II/Hướng của người ta :


II/ Sách để tra:
Serge Lang- Algebra - trang 221-235 ( hơi dư , nhưng em theo đại số thì tốt cho em :D).
Link: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]


Bài 2:
a) Anh nghĩ em hiểu đc phần bài 1, thì phần bài 2 k câu này k vấn đề.
b) Anh dự đoán là $[L_1:K]$ chia hết $[L_1L_2:K]$ nên mình có kết quả này.(anh k chac chan nhe )
c) Chọn $L_1,L_2$ sao cho:
i) $[L_1:K]>1$.
ii) $ L_2/L_1$
Vậy là $[ L_1L_2: K]= [L_2:K] < [L_1:K][L_2:K]$
thế là xong.

Em vẫn chưa hiểu anh ạ!
Nếu gọi ${y_{i}}$ là cơ sở của $L_{2}$ thì $L_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $vì đây là một mở rộng hữu hạn nên nó cũng là một mở rộng đại số, mọi phần tử của $L_{1}L_{2}$ đều là đại số trên $L_{1}$ nên nó sẽ có điều trên. Như vậy ta có thể xem trường các thương đa thức như một tổ hợp tuyến tính hay nếu gọi a thuộc $L_{1}L_{2}$ thì ta có:
$a=\frac{f(y_{1},y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},. ..,y_{n})}$
$a$ sẽ thuộc $L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $nên có thể coi $a=h(y_{1},y_{2},...,y_{n})=\sum \alpha_{i}y_{i}$
Em hiểu như trên có gì sai không anh?

1. $L_1L_2$ chứa $L_1,L_2$ nên nếu $L_1L_2$ là k-kgvt hữu hạn chiều, điều đó cũng đúng cho $L_1,L_2$. Ngược lại, nếu $L_1=F(\alpha_i),L_2=F(\beta_i)$ thì $L_1L_2=F(\alpha_i,\beta_i)$. Do $L_i$ là mở rộng hữu hạn nên các $\alpha_i,\beta_i$ là đại số trên F. Như vậy $L_1L_2$ là hữu hạn chiều.
2. Mọi phần tử trong $L_1L_2$ có dạng tổng các tích của các phần tử trong $L_1,L_2$ (trong trường hợp hữu hạn chiều), nên có dạng các F-tổ hợp tuyến tính của $\alpha_i\beta_j$, từ đó ta có kết luận

Em thay chữ có thể coi bằng có thể biểu diễn dưới dạng thì chuẩn.