Bất đẳng thức đối xứng
 

Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả mãn $a+b+c=3$, chứng minh rằng
\[8\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right) + 5\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} + \frac{1}{{\sqrt b }} + \frac{1}{{\sqrt c }}} \right) \ge 39.\]

Do $0<a<3$ nên ta có đánh giá
\[8\sqrt a + \frac{5}{{\sqrt a }} = \frac{{3a + 23}}{2} + \frac{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}\left( {10 - 3\sqrt a } \right)}}{{2\sqrt a }} \ge \frac{{3a + 23}}{2}.\]
Với các đánh giá tương tự ta có
\[\begin{array}{l}
8\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right) + 5\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt b }} + \dfrac{1}{{\sqrt c }}} \right) &\ge \dfrac{{3a + 23}}{2} + \dfrac{{3b + 23}}{2} + \dfrac{{3c + 23}}{2}\\
& \ge 39.
\end{array}\]

Sao bạn có đánh giá như vậy ?