Diễn Đàn MathScope - Vài câu hỏi về hình học vi phân

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)

- Hình Học/Geometry (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=130)

- - Vài câu hỏi về hình học vi phân (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=20520)

Vài câu hỏi về hình học vi phân

Kỳ này được học hình vi phân, nhưng trực quan hình học mà em thu được thì có lẽ không khác zero là mấy. Em có mấy câu hỏi, bỏ vào đây, nhờ các cao nhân chỉ điểm :
Thứ nhất là ý nghĩa hình học của độ cong Gauss và độ cong trung bình ?
Độ cong Gauss phải chăng là địa phương tức là nếu $K_{p}>0 $ thì trong một lân cận nào đó của $p $ các điểm đều có độ cong dương ?
Thứ hai là ý nghĩa hình học của đạo hàm hiệp biến, trong không gian ta có thể tưởng tượng nó thế nào?
Thứ ba là ý nghĩa hình học của tensor Riemann ? Bác nào giúp em nói rõ sự đồng nhất giữa tensor Riemann và tensor trong đại số với.

Topic này cũng thảo luận một ít [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Độ cong Gauss là định thức của đạo hàm ánh xạ Gauss (đạo hàm ánh xạ này được gọi là ánh xạ Weingarten), nên nó đo sự uốn cong của mặt. Cụ thể thì khi độ cong Gauss dương thì địa phương ở điểm đó, mặt uốn cong giống ellipsoid v.v. Cái này em có thể tìm thấy trong giáo trình hình học vi phân cổ điển.

Độ cong Gauss là hàm liên tục, nên điều em hỏi là hiển nhiên.

Anh không biết đạo hàm hiệp biến có ý nghĩa hình học thế nào, ban đầu ta cứ coi như nó là một công cụ để nghiên cứu hình học vi phân.

Tensor Riemann chắc là tensor độ cong? (curvature tensor) . Nếu ký hiệu D là đạo hàm hiệp biến, thì tensor độ cong chính là $D\circ D $, và nó đo sự sai khac của D trở thành một "vi phân" theo nghĩa của "phức vi phân" (phức vi phân là một dãy các module với đồng cấu d thỏa mãn $d\circ d =0 $ ) Tài liệu về cái này thì em có thể đọc Huybrechts, Complex Geometry, hoặc Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, nhưng cả hai cuốn đều rất khó đọc. Tốt nhất ban đầu cứ học tốt hình học cổ điển, vì từ đó lên hình học nhiều chiều cũng nhanh và dễ dàng.

Trích:

Độ cong Gauss là định thức của đạo hàm ánh xạ Gauss (đạo hàm ánh xạ này được gọi là ánh xạ Weingarten), nên nó đo sự uốn cong của mặt. Cụ thể thì khi độ cong Gauss dương thì địa phương ở điểm đó, mặt uốn cong giống ellipsoid v.v. Cái này em có thể tìm thấy trong giáo trình hình học vi phân cổ điển.

Cái này em biết rồi, ý em là nó chỉ là đo cái tính chất địa phương, chứ không nói toàn cục mặt nó behavior thế nào đúng không ạ ?

Trích:

Anh không biết đạo hàm hiệp biến có ý nghĩa hình học thế nào, ban đầu ta cứ coi như nó là một công cụ để nghiên cứu hình học vi phân.

Cái đạo hàm hiệp biến(covariant derivative?) chắc là có cả ý nghĩa vật lý nữa, anh 99 nói em nghe với được không ạ ?

Trích:

Tensor Riemann chắc là tensor độ cong? (curvature tensor)

Chuẩn anh ạ.

Trích:

Nếu ký hiệu D là đạo hàm hiệp biến, thì tensor độ cong chính là $D\circ D $, và nó đo sự sai khac của D trở thành một "vi phân" theo nghĩa của "phức vi phân" (phức vi phân là một dãy các module với đồng cấu d thỏa mãn $d\circ d =0 $ ) Tài liệu về cái này thì em có thể đọc Huybrechts, Complex Geometry, hoặc Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, nhưng cả hai cuốn đều rất khó đọc. Tốt nhất ban đầu cứ học tốt hình học cổ điển, vì từ đó lên hình học nhiều chiều cũng nhanh và dễ dàng.

Bữa nào anh viết vài bài khai sáng giùm em với.

Anh chỉ biết vậy thôi. Nói thật, hình học vi phân cũng là một mảng to đùng, cũng cần nhiều kiến thức cơ sở, cũng như món hình học đại số mà chú hay quan tâm ý. Kiến thức trong hình học vi phân cực kỳ nhiều, muốn học để có thể hiểu được gì đó thì phải cần nhiều thời gian. Hiện tại chú đang học hình học vi phân cổ điển, cố gắng học được đến định lý Gauss-Bonnet, định lý tách Jordan Brouwer, v.v.