Bất đẳng thức đối xứng
 

Giả sử $P(x)$ là đa thức bậc 3 có 3 nghiệm $a,\,b,\,c\ge 1$, chứng minh rằng\[\frac{{a + b + c}}{3} \ge \frac{{\sqrt[3]{{P\left( 0 \right)}}}}{{\sqrt[3]{{P\left( 0 \right)}} + \sqrt[3]{{P\left( 1 \right)}}}}.\]

Giả sử $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$, có $$P(0)=-abc,\;P(1)=(1-a)(1-b)(1-c).$$
Do đó bất đẳng thức tương đương với
\[\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)\left( {\sqrt[3]{{abc}} + \sqrt[3]{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}}} \right) \ge \sqrt[3]{{abc}}.\]
Bất đẳng thức đúng vì $a,\,b,\,c \ge 1$ nên $ {\sqrt[3]{{abc}} + \sqrt[3]{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}}} \ge 1$ và $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$.

Bạn có thể chứng minh rõ hơn phần này không
$a,\,b,\,c \ge 1$ nên $ {\sqrt[3]{{abc}} + \sqrt[3]{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}}} \ge 1$
+_+