Mở rộng bất đẳng thưc Karamata
 

Cho $f(x)$ là hàm số thực lồi và liên tục trên $I$. Giả sử $x_1, . . . , x_n$ và $y_1, . . . , y_n$ thuộc $I$ sao cho hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1. $x_1 \ge x_2 \ge x_3.....\ge x_n,$ và $y_1 \ge y_2 \ge y_3.....\ge y_n$

2. $x_1+...+x_i \ge y_1+.....+y_i$ và $x_{i+1}+...+x_n \le y_{i+1}+...+y_n$ với $i=1,....,n-1$ chứng minh rằng

$$\frac{f(x_1)+f(x_2)+....+f(x_n)}{n}-f(\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}) \ge \frac{f(y_1)+f(y_2)+....+f(y_n)}{n}-f(\frac{y_1+y_2+....+y_n}{n}) $$

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu $x_i=y_i$ với mọi $i \in {1, 2,...,n}$