[VMO 2014] Bài 1 - Giải tích Bài 1. Cho hai dãy số thực dương $({{x}_{n}}),({{y}_{n}})$ xác định bởi ${{x}_{1}}=1,{{y}_{1}}=\sqrt{3}$ và $$\left\{ \begin{align} & {{x}_{n+1}}{{y}_{n+1}}-{{x}_{n}}=0 \\ & x_{n+1}^{2}+{{y}_{n}}=2 \\ \end{align} \right.$$ với mọi $n=1,2,3,...$ Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. |
Trích:
Mình là một thằng ngu :sad: |
Công thức tổng quát: $$x_{n} = 2sin\frac{\pi}{3.2^n}, y_{n}=2cos\frac{\pi}{3.2^n}$$ Từ đó suy ra $lim x_{n}=0, lim y_{n} =2$ |
Bài này đặt $x_1=2sin \frac{\pi}{6}, y_1=2cos \frac{\pi}{6}$. Quy nạp ra được $x_n=2sin \frac{\pi}{3.2^n}, y_n=2cos \frac{\pi}{3.2^n}$. |
Trích:
|
Chứng minh bằng quy nạp ta có $y_n=\sqrt{y_{n-1}+2}$, từ đây kết hợp với $y_n$ bị chặn trên bởi $2$ suy ra nó hội tụ và $limy_n=2$ từ đó suy ra $limx_n=0$ Có ai làm giống em không ạ? |
Chứng minh $(x_n), (y_n)$ đơn điệu thế nào vậy các đồng chí :-< |
Vậy bài 1 LGH là đúng bài nhất ! |
Mình chứng minh qui nạp là $y_{n+1}=\sqrt{y_n+2},x_{n+1}=\sqrt{2-y_n}$ xong từ đấy tìm lim $y_n$. không nhìn ra cái lượng giác :D |
Mình tưởng 2 cái lim=1 |
Trích:
Đầu tiên khử $y_n$ ta được dãy $(x_n)$ như sau: $x_1=1; x_2=\sqrt{2-\sqrt{3}}; x_{n+1}(2-x_{n+2}^2)=x_n$ với mọi $n \ge 1$. Quan sát $x_2$ thấy có $\sqrt{3}$, $2$ nên liên tưởng đến lượng giác:$x_2=\sqrt{2(1-\cos \dfrac{\pi}{6})}=2\sin \dfrac{\pi}{12}$. Như vậy viết lại $x_1=2\sin \dfrac{\pi}{6}$. Thay vào tính $x_3$ được $2-x_3^2=2\cos \dfrac{\pi}{12}$. Rút ra $x_3=2\sin \dfrac{\pi}{24}$. Từ đó phán đoán $P(n): x_n=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^n}$ là mệnh đề đúng với $n \in \mathbb{N}^{*}$.Ta sẽ chứng minh $P(n)$ đúng bằng quy nạp mạnh. Thật vậy: +) Rõ ràng $P(1), P(2)$ đúng. +) Giả sử $P(1); P(2);...;P(k+1)$ đúng ($k \in \mathbb{N}$). Ta sẽ chứng minh $P(k+2)$ đúng. Thật vậy, theo công thức tổng quát: $x_{k+1}(2-x_{k+2}^2)=x_k$. Suy ra$2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}(2-x_{k+2}^2)=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^k}$. Áp dụng công thức $\sin 2x= 2 \sin x \cos x$ ta có$2-x_{k+2}^2=2\cos \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}$. Chuyển vế áp dụng công thức $1-\cos 2x=2 \sin^2x$ ta có$x_{k+2}=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+2}}$ hay $P(k+2)$ đúng. Vậy $P(n)$ đúng, từ đó tìm được đáp số.Chú ý: Đề cho dãy dương nên các phép biến đổi trên mới đúng. |
Trích:
$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$ $1=x_1>x_2>x_3>...$Có $(x_n)$ giảm rồi xét hiệu $y_{n+1}-y_n=x_{n+1}^2-x_{n+2}^2>0$ nên suy ra $(y_n)$ tăng và bị chặn trên bởi $2$. |
Trích:
|
$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$ từ đây bấm máy tính nó ra lim=1 nè mọi người |
Trích:
Bài này lạ nhỉ :O Nhìn có vẻ giới hạn bằng 1 nhưng thực ra giới hạn lại bằng 0. Chưa bao giờ gặp trường hợp như vậy :! |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:04 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.