Diễn Đàn MathScope - [VMO 2014] Bài 1

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)

- 2014 (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=177)

- - [VMO 2014] Bài 1 - Giải tích (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=46324)

[VMO 2014] Bài 1 - Giải tích

Bài 1.
Cho hai dãy số thực dương $({{x}_{n}}),({{y}_{n}})$ xác định bởi ${{x}_{1}}=1,{{y}_{1}}=\sqrt{3}$ và $$\left\{ \begin{align}
& {{x}_{n+1}}{{y}_{n+1}}-{{x}_{n}}=0 \\
& x_{n+1}^{2}+{{y}_{n}}=2 \\
\end{align} \right.$$ với mọi $n=1,2,3,...$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang (Post 199084)

Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n \le 1 \le y_n$ từ đó suy ra được dãy $(x_n)$ giảm và $(y_n)$ tăng và chúng đều bị chặn :sad::sad::sad:
Mình là một thằng ngu :sad:

Công thức tổng quát: $$x_{n} = 2sin\frac{\pi}{3.2^n}, y_{n}=2cos\frac{\pi}{3.2^n}$$
Từ đó suy ra $lim x_{n}=0, lim y_{n} =2$

Bài này đặt $x_1=2sin \frac{\pi}{6}, y_1=2cos \frac{\pi}{6}$. Quy nạp ra được $x_n=2sin \frac{\pi}{3.2^n}, y_n=2cos \frac{\pi}{3.2^n}$.

Trích:

Nguyên văn bởi hansongkyung (Post 199088)

Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n \ge 1 \ge y_n$ từ đó suy ra được dãy $(x_n)$ giảm và $(y_n)$ tăng và chúng đều bị chặn :sad::sad::sad:
Mình là một thằng ngu :sad:

Lộn rồi kìa $x_n<1$

Chứng minh bằng quy nạp ta có $y_n=\sqrt{y_{n-1}+2}$, từ đây kết hợp với $y_n$ bị chặn trên bởi $2$ suy ra nó hội tụ và $limy_n=2$ từ đó suy ra $limx_n=0$
Có ai làm giống em không ạ?

Chứng minh $(x_n), (y_n)$ đơn điệu thế nào vậy các đồng chí :-<

Vậy bài 1 LGH là đúng bài nhất !

Mình chứng minh qui nạp là $y_{n+1}=\sqrt{y_n+2},x_{n+1}=\sqrt{2-y_n}$ xong từ đấy tìm lim $y_n$. không nhìn ra cái lượng giác :D

Mình tưởng 2 cái lim=1

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang (Post 199084)

Cách suy luận:
Đầu tiên khử $y_n$ ta được dãy $(x_n)$ như sau:

$x_1=1; x_2=\sqrt{2-\sqrt{3}}; x_{n+1}(2-x_{n+2}^2)=x_n$ với mọi $n \ge 1$.

Quan sát $x_2$ thấy có $\sqrt{3}$, $2$ nên liên tưởng đến lượng giác:

$x_2=\sqrt{2(1-\cos \dfrac{\pi}{6})}=2\sin \dfrac{\pi}{12}$.

Như vậy viết lại

$x_1=2\sin \dfrac{\pi}{6}$.

Thay vào tính $x_3$ được

$2-x_3^2=2\cos \dfrac{\pi}{12}$.

Rút ra

$x_3=2\sin \dfrac{\pi}{24}$.

Từ đó phán đoán $P(n): x_n=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^n}$ là mệnh đề đúng với $n \in \mathbb{N}^{*}$.
Ta sẽ chứng minh $P(n)$ đúng bằng quy nạp mạnh. Thật vậy:
+) Rõ ràng $P(1), P(2)$ đúng.
+) Giả sử $P(1); P(2);...;P(k+1)$ đúng ($k \in \mathbb{N}$). Ta sẽ chứng minh $P(k+2)$ đúng.
Thật vậy, theo công thức tổng quát:

$x_{k+1}(2-x_{k+2}^2)=x_k$.

Suy ra

$2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}(2-x_{k+2}^2)=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^k}$.

Áp dụng công thức $\sin 2x= 2 \sin x \cos x$ ta có

$2-x_{k+2}^2=2\cos \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}$.

Chuyển vế áp dụng công thức $1-\cos 2x=2 \sin^2x$ ta có

$x_{k+2}=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+2}}$ hay $P(k+2)$ đúng.

Vậy $P(n)$ đúng, từ đó tìm được đáp số.
Chú ý: Đề cho dãy dương nên các phép biến đổi trên mới đúng.

Trích:

Nguyên văn bởi thaygiaocht (Post 199134)

Đầu tiên khử $y_n$ ta được dãy $(x_n)$ như sau:
$x_1=1; x_2=\sqrt{2-\sqrt{3}}; x_{n+1}(2-x_{n+2}^2)=x_n$ với mọi $n \ge 1.$

Đến đây rồi có ai chứng minh $(x_n)$ giảm giống mình không

$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$

$1=x_1>x_2>x_3>...$

Có $(x_n)$ giảm rồi xét hiệu $y_{n+1}-y_n=x_{n+1}^2-x_{n+2}^2>0$
nên suy ra $(y_n)$ tăng và bị chặn trên bởi $2$.

Trích:

Nguyên văn bởi halamadrid (Post 199123)

Mình chứng minh qui nạp là $y_{n+1}=\sqrt{y_n+2},x_{n+1}=\sqrt{2-y_n}$ xong từ đấy tìm lim $y_n$. không nhìn ra cái lượng giác :D

do số căn bậc 2 của 3,thì nghĩ là LG thôi mà

$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$

từ đây bấm máy tính nó ra lim=1 nè mọi người

Trích:

Nguyên văn bởi ahhungah (Post 199152)

$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$

từ đây bấm máy tính nó ra lim=1 nè mọi người

Ủa đâu cho xài máy tính đâu sao mà bấm hay thế :afterboom:

Bài này lạ nhỉ :O
Nhìn có vẻ giới hạn bằng 1 nhưng thực ra giới hạn lại bằng 0. Chưa bao giờ gặp trường hợp như vậy :!