Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Giải Tích (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=7)
-   -   Phương trình hàm (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51474)

Ho Tung Quan 25-11-2017 02:48 PM

Phương trình hàm
 
Mọi người giải giúp em bài toán này với nhé!

Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ thỏa:
$$ f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y), \forall x, y\in \mathbb{R}.$$

Thụy An 26-11-2017 12:29 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Ho Tung Quan (Post 212715)
Mọi người giải giúp em bài toán này với nhé!

Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ thỏa:
$$ f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y), \forall x, y\in \mathbb{R}.$$

Cho $y=0$ có $f\left(x^2\right)=xf(x)$, từ đó với mọi $a;\,b\ge 0$ có
\[f\left( {a - b} \right) = f\left( a \right) - f\left( b \right)\]
Với $a=b$, ta được $f(0)=0$ từ đó $f(-x)=-f(x)$ và do vậy $f$ là hàm cộng tính. Đặt $f(1)=k$ và có
\[\left( {x + 1} \right)\left( {f\left( x \right) + k} \right) = f\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + 2f\left( x \right) + k = xf\left( x \right) + 2f\left( x \right) + k\]
Từ đó $f(x)=kx$ với $k$ là hằng số tùy ý.

Ho Tung Quan 26-11-2017 03:32 PM

Cảm ơn Thụy An nhiều!

Ho Tung Quan 22-12-2017 10:27 PM

Mọi người giải giúp em bài toán này nhé!

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}→\mathbb{R}$ thỏa:
$$f(30f(y)+4x)=19x+75y+2002,∀x,y∈\mathbb{R}.$$

chemthan 25-12-2017 06:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Ho Tung Quan (Post 212811)
Mọi người giải giúp em bài toán này nhé!

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}→\mathbb{R}$ thỏa:
$$f(30f(y)+4x)=19x+75y+2002,∀x,y∈\mathbb{R}.$$

Thay $y = 30f(z) + 4t$ ta có:
$f(30(19z + 75t + 2002) + 4x) = 19x + 75(30f(z) + 4t) + 2002$.
Tiếp theo chọn $t, x$ sao cho $30(19z + 75t + 2002) + 4x = z$.

The Reaper 29-12-2017 07:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Ho Tung Quan (Post 212811)
Mọi người giải giúp em bài toán này nhé!

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}→\mathbb{R}$ thỏa:
$$f(30f(y)+4x)=19x+75y+2002,∀x,y∈\mathbb{R}.$$

Chứng minh hàm f đơn ánh, sau đó thay x=y=0 vào rồi thay x=-75x/19 vào

Ho Tung Quan 03-01-2018 02:08 AM

Em cũng thử rồi nhưng ko tìm được hàm. Nhờ chemthan và The Reaper hướng dẫn kỹ hơn và cho đáp số!

The Reaper 04-01-2018 09:30 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Ho Tung Quan (Post 212855)
Em cũng thử rồi nhưng ko tìm được hàm. Nhờ chemthan và The Reaper hướng dẫn kỹ hơn và cho đáp số!

Ký hiệu $P(a,b)$ là chỉ việc thay thế $x$ bởi $a, y$ bởi $b$ vào phương trình hàm
Cho $a=const$
Giả sử $f(b)=f(c)$ (1)
$P(b,a): f(30f(b)+a)=19a+15b+2002$ (2)
$P(c,a): f(30f(c)+a)=19a+15c+2002$ (3)
Từ (1)(2)(3) => Hàm $f$ đơn ánh
$P(0;0): f(30f(0))=2002$ (4)
$P(x;-75x/19): f(30f(x)-300x/19)=2002$ (5)
Từ (4)(5)$=>f(30f(0))=f(30f(x)-300x/19)$
Mà hàm $f$ đơn ánh nên ta suy ra được
$30f(0)=30f(x)-300x/19<=>f(x)=f(0)+10x/19$
Thay lại vào đề bài ta tính được $f(0)$

Ho Tung Quan 05-01-2018 11:13 PM

Cảm ơn The Reaper nhiều!


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:21 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 9.21 k/10.04 k (8.28%)]