Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Các Bài Toán Đã Được Giải (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=111)
-   -   Biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng hai BP (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=11954)

namdung 02-06-2010 07:19 PM

Biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng hai BP
 
Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương thì biểu diễn đó là duy nhất nếu không tính đến thứ tự.

newbie 02-06-2010 07:40 PM

Giả sử $p=a^2+b^2=(a+ib)(a-ib) $ với $i^2=-1;a,b \in \mathbb{N} $
Nếu $a+ib,a-ib $ ko cùng là số nguyên tố gauss thì $\exist m,n \in \mathbb{Z\[\i\]} ;|m|,|n|>1 $$ : a+ib=mn \Rightarrow p=(a+ib) \overline{ (a+ib)}=m.\overline{m}.n.\overline{n}=|m|.|n| $ (Mâu thuẫn )
Và do cách biểu diễn 1 số nguyên dưới dạng tích các số nguyên tố gauss là duy nhất nên nếu $ p=c^2+d^2=(c+id)(c-id) $ thì $ c+id=a+ib $ hoặc $c+id=a-ib $=>dpcm

Highschoolmath 02-06-2010 08:47 PM

Ta xét biểu thức:
$p=x^2+y^2 $(*)
Để các nghiệm của (*) không bị hoán vị, mỗi cặp $(x,y) $ thõa mãn $(*) $, ta sẽ ngầm hiểu $x>y $. Trong các cặp $(x,y) $ như vậy, ta xét cặp $(a,b) $ mà ở đó $b=miny $, và ta giả sử cũng có một cặp $(c,d) $ nào khác thõa mãn (*), ngay lập tức, ta có tính chất $a>c>d>b $.Bây giờ, ta lại có tiếp $p^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 $, đây là một phương trình Pitagore, nên tồn tại hai số tự nhiên $m>n $ để:
$p=m^2+n^2 (1),ac+bd=2mn (2),ad-bc=m^2-n^2 (3) $
Từ (3) suy ra:
Nếu $ad>m^2 \Rightarrow bc>n^2 \Rightarrow 2p^2=(a^2+d^2)+(c^2+d^2)>2(m^2+n^2) $(Vô lý)
Nếu $ad<m^2 \Rightarrow b^2<bc<n^2 \Rightarrow b<n $, vậy rõ ràng $(m,n) $ là một bộ khác thõa mãn (*) và có $n<b $(Mâu thuẫn với giả thuyết $b=miny $).Như vậy $(a,b) $ là bộ duy nhất
PS:Chả biết có đúng không nữa, vừa mới nghĩ ra :-ss

Galois_vn 21-06-2010 08:21 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung (Post 57150)
Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương thì biểu diễn đó là duy nhất nếu không tính đến thứ tự.

Lão Euler có một định lý :
$N=a^2+b^2=c^2+d^2 $ thì
$N=[(\frac{k}{2})^2+(\frac{l}{2})^2][m^2+n^2] $
Trong đó ,$k=gcd(a-b,c-d),l=gcd(a+b,c+d) $, m,n là gì không nhớ T_T

dangchienbn 21-06-2010 08:40 PM

Có cách đơn giản hơn thì phải
Điều kiện tương đương $(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (a>c, b>d) $
Tồn tại $m, n, p, q $ với $(n, q)=1 $ sao cho $a+c=mn, a-c=pq, d+b=mp, d-b=nq $
Suy ra p$=\frac{m^2n^2+p^2q^2+n^2q^2+m^2p^2}{4}=\frac{(m^2+ q^2)(n^2+p^2)}{4} $
Vô lí. Ta có điều phải Cm

Galois_vn 30-06-2010 09:42 PM

Trích:

Nguyên văn bởi dangchienbn (Post 58331)
Có cách đơn giản hơn thì phải
Điều kiện tương đương $(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (a>c, b>d) $
Tồn tại $m, n, p, q $ với $(n, q)=1 $ sao cho $a+c=mn, a-c=pq, d+b=mp, d-b=nq $
Suy ra p$=\frac{m^2n^2+p^2q^2+n^2q^2+m^2p^2}{4}=\frac{(m^2+ q^2)(n^2+p^2)}{4} $
Vô lí. Ta có điều phải Cm

Cách mà tui muốn nói đến , mà không nhớ đk ràng buộc cụ thể là gì ?

Lệnh Hồ Xung 08-08-2010 12:11 AM

Các bạn học cấp 3 chuyên toán thử chứng minh bài sau xem nhé :
Định lý Fermat về tổng 2 bình phương:
"Một số nguyên tố $p $ biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 bình phương khi và chỉ khi số nguyên tố ấy có dạng $4k+1 $. Cách biểu diễn ấy là duy nhất, không kể đến thứ tự của 2 số."
Bài toán biểu diễn số nguyên tố dưới dạng $x^2+ny^2 $ với $n $ là số tự nhiên khác ko là 1 bài toán rất thú vị và có thể coi là con gà đẻ trứng vàng của số học cổ điển(theo ý kiến chủ quan của mình).
Hôm nay hơi bận, khi nào có đủ thời gian sẽ viết về một số hiểu biết của mình về vấn đề này, trên quan điểm đại số.

n.v.thanh 08-08-2010 08:32 AM

Cái Định Lý Fermat Euler chắc không cần:"Các bạn học cấp 3 chuyên toán thử chứng minh bài sau xem nhé" đâu anh ạ.vì chắc biết hết rồi.
Còn vấn đề $x^2+ny^2 $,ừ đúng là hay thật.em xin góp vài định lý về cái con gà b-)này:
Lemma1)
$p $ là nguyên tố và $p $ có dạng $ 8k+1 $ hoặc $8k+3 $thì tồn tại $(x,y) $ nguyên dương sao cho $p=x^2+2y^2 $
Lemma2)
$p $ là nguyên tố và $p $ có dạng $ 6k+1 $
thì tồn tại $(x,y) $ nguyên dương sao cho $p=x^2+3y^2 $
Lemma3)
:pt $n=x^2+3y^2 $ giải được khi và chỉ khi mọi ược nguyên tố dạng $3k-1 $của n có số mũ chẵn
P/s:
------------------------------
Thắc mắc tại sao thầy Dũng lại để topic này ở
MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Lý Thuyết Số/Number Theory
nhỉ?:afterboom:

Lệnh Hồ Xung 08-08-2010 09:25 AM

Úi, anh nvthanh 1994 giỏi thế, ;)) em không biết mấy cái định lý anh nêu ra đâu ạ, anh đừng gọi em là anh kẻo em xấu hổ =))
Xem ra anh biết hết mấy chiêu của em rồi. Bây giờ em thấy cái bài toán biểu diễn số nguyên tố kiểu ấy, nó dính dáng tới cái cậu "thuận nghịch bậc 2". Anh à, anh thử triển khai phép chứng minh luật tương hỗ toàn phương Gauss cho em xem với nhé. Và anh lý giải hộ em xem tại sao 2 thứ đó liên quan đến nhau, nhớ là anh đừng bê các phép chứng minh hay lý luận ở đâu ra anh nhé, phải là phép chứng minh do anh nghĩ ra em mới phục anh ạ. Em cám ơn anh nhiều ạ :)), =))

Đây, em nêu cái luật tương hỗ toàn phương ra, các bạn MS chuẩn bị chống mắt mà xem phép chứng minh của anh nvthanh nhé.
"Nếu p, q là 2 số nguyên tố lẻ thì :
$\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) =(-1)^{\dfrac{(p-1)(q-1)}{4}} $
"
Còn lý do tại sao thầy Nam Dũng để nó vào box toán ĐH và sau đại học, em nghĩ em và anh nvthanh1994 nên về nhà học thêm nữa để hiểu thêm ý thầy Dũng rồi mới kết luận anh nhé :d =))

Bug 08-08-2010 09:51 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Lệnh Hồ Xung (Post 61855)
Úi, anh nvthanh 1994 giỏi thế, ;)) em không biết mấy cái định lý anh nêu ra đâu ạ, anh đừng gọi em là anh kẻo em xấu hổ =))
Xem ra anh biết hết mấy chiêu của em rồi. Bây giờ em thấy cái bài toán biểu diễn số nguyên tố kiểu ấy, nó dính dáng tới cái cậu "thuận nghịch bậc 2". Anh à, anh thử triển khai phép chứng minh luật tương hỗ toàn phương Gauss cho em xem với nhé. Và anh lý giải hộ em xem tại sao 2 thứ đó liên quan đến nhau, nhớ là anh đừng bê các phép chứng minh hay lý luận ở đâu ra anh nhé, phải là phép chứng minh do anh nghĩ ra em mới phục anh ạ. Em cám ơn anh nhiều ạ :)), =))

Đây, em nêu cái luật tương hỗ toàn phương ra, các bạn MS chuẩn bị chống mắt mà xem phép chứng minh của anh nvthanh nhé.
"Nếu p, q là 2 số nguyên tố lẻ thì :
$\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) =(-1)^{\dfrac{(p-1)(q-1)}{4}} $
"
Còn lý do tại sao thầy Nam Dũng để nó vào box toán ĐH và sau đại học, em nghĩ em và anh nvthanh1994 nên về nhà học thêm nữa để hiểu thêm ý thầy Dũng rồi mới kết luận anh nhé :d =))

Ôi, anh không cần phải chấp thằng ngông cuồng kia đâu, nó chỉ được cái mồm chứ được cái gì, trình độ cũng thường mà chỉ chuyên gia đi chém gió.

n.v.thanh 08-08-2010 10:02 AM

:-<:-<Vâng.

Lệnh Hồ Xung 08-08-2010 10:42 AM

Trích:

Nguyên văn bởi nvthanh1994 (Post 61860)
:-<:-<Vâng.


Ô hay, thế anh vào còm men mà ko trả lời gì à anh? Anh ạ, em khuyên anh là mỗi khi đứng trước vấn đề gì thì uốn lưỡi 7 lần trước khi nói kẻo nấc nhé ;)). Rồi ko ai chữa cho đâu :))
Đây, em ghi thêm ra đây 2 cái luật bổ sung của luật tương hỗ tòan phương Gauss:

$\left(\dfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}} $

$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $

Thôi, trêu các bạn đủ rồi. Lần sau thì đừng bao giờ phán bài này gà, bài kia thế kia. Đủ bản lĩnh thì làm ăn cho tử tế. Kẻo các bài trao đổi của forum loãng hết.
Hôm nay rep vội. Mình hứa khi có thời gian sẽ viết 1 bài tử tế về vấn đề này. Thầy Nam Dũng cho em xin lỗi vì đã làm loãng box.








n.v.thanh 08-08-2010 10:46 AM

À,hì.em nói bài con gà này là Trích lời anh cho nó vui thôi mà.không ngờ nó gây phản cảm.:-<

nevergiveup 08-08-2010 02:38 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Lệnh Hồ Xung (Post 61863)

Ô hay, thế anh vào còm men mà ko trả lời gì à anh? Anh ạ, em khuyên anh là mỗi khi đứng trước vấn đề gì thì uốn lưỡi 7 lần trước khi nói kẻo nấc nhé ;)). Rồi ko ai chữa cho đâu :))
Đây, em ghi thêm ra đây 2 cái luật bổ sung của luật tương hỗ tòan phương Gauss:

$\left(\dfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}} $

$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $

Thôi, trêu các bạn đủ rồi. Lần sau thì đừng bao giờ phán bài này gà, bài kia thế kia. Đủ bản lĩnh thì làm ăn cho tử tế. Kẻo các bài trao đổi của forum loãng hết.
Hôm nay rep vội. Mình hứa khi có thời gian sẽ viết 1 bài tử tế về vấn đề này. Thầy Nam Dũng cho em xin lỗi vì đã làm loãng box.








các bạn thật là giỏi quá mình kinh sợ. Chỉ góp ý một điều nhỏ thôi
$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $
hay là $\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{8}} $ ??
tuổi trẻ ngông cuồng nên những phát ngôn khinh người thường hay xuất hiện mình cũng trẻ cũng chỉ bằng nvthanh1994 thôi nhưng cũng ko dám giỏi đáng sợ như bạn ấy đâu
P/s: nvthanh1994 cùng lớp đó ko phải là người lạ đâu bạn nhá :):Secretsmile:

Lệnh Hồ Xung 08-08-2010 04:57 PM

Ừ, anh sai. Chính xác là 8 chứ không phải là 2. Rep vội.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:35 AM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 24.16 k/25.44 k (5.05%)]