Việt Nam TST 2010(Đề thi-Đáp án-Danh sách đội tuyển) ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN VN DỰ THI TOÁN QUỐC TẾ(NGÀY 1) BÀI 1: (6 điểm)cho $\Delta ABC $ không vuông tại A.trung tuyến AM.D là một điểm chạy trên AM.$( {O}_{1}),({O}_{2}) $ lần lượt là các đường tròn đi qua D và tiếp xúc với BC tại B và C. CA cắt $({O}_{2}) $ tại Q.BA cắt $({O}_{1}) $ tại P. a)cmr tiếp tuyến tại P của $({O}_{1}) $ và tiếp tuyến tại Q của $({O}_{2}) $ phải cắt nhau.gọi giao điểm này là S. b)cmr S luôn chạy trên một đường cố định khi D chạy trên AM BÀI 2: (6 điểm)với mỗi n nguyên dương, xét tập sau ${T}_{n}= [ 11(k+h)+10({n}^{k}+{n}^{h})\mid 1\leq k,h \leq 10 ] $.tìm tất cả n sao cho không tồn tại a khác b $\in {T}_{n} $ sao cho a-b chia hết cho 110. BÀI 3: (8 ĐIỂM) hình chữ nhật kích thước 1*2 được gọi là hình chữ nhật đơn( hcnd). hình chữ nhật 2*3 bỏ di 2 ô ở góc chéo nhau(tức có có 4 ô) gọi là hcn kép (hcnk).người ta ghép khít các hncd và hcnk được bảng 2008*2010.tìm số bé nhất các hcnd có thể dùng để lát được như trên. |
bài 2 chỉ cần xét phép nghịch đảo tâm A.chú ý rằng (APQ) tiếp xúc với cả (O1) và (O2) |
mấy anh bên sư phạm kinh hình chắc chắn ai cũng làm ngon 1 bài.anh Rực giỏi số...không biết sao,chờ tin thôi |
Trích:
|
Trích:
Bài hình học yêu cầu chứng minh giao điểm của 2 tiếp tuyến tại P và Q luôn thuộc một đường thẳng cổ định chứ không như đề bài trên. |
Bài 1: n không thỏa mãn khi và chỉ khi n là căn nguyên thủy mod 11. Nếu n chia hết cho 11 thì đơn giản. Nếu n nguyên tố cùng nhau với 11 thì xét 2 trường hợp: TH 1:n không phải là căn nguyên thủy mod 11.Điều kiện đề bài tương đương với tồn tại $(k_1,k_2,h_1,h_2) $ sao cho $10 |k_1+k_2-h_1-h_2 $ và $11|n^{k_1}+n^{k_2}-n^{h_1}-n^{h_2} $,đồng thời hai bộ $(k_1,k_2),(h_1,h_2) $ (không tính thứ tự) phải khác nhau. Tồn tại ước d của $10 $ và $<10 $ sao cho $11 |n^d-1 $.Nếu d=5 chọn $(k_1,k_2,h_1,h_2)=(9,10,4,5) $.Nếu $d=2 $ chọn $(k_1,k_2,h_1,h_2)=(3,10,1,2) $.Nếu $d=1 $ chọn $(k_1,k_2,h_1,h_2)=(3,10,1,2) $.Với các cách chọn trên ta đều có $n^{k_1} \equiv n^{h_1} (mod 11) $ và $n^{k_2} \equiv n^{h_2} (mod 11) $ nên thỏa mãn. TH 2:n là căn nguyên thủy mod 11.Ta chứng minh không tồn tại a,b thỏa mãn,từ đó n thỏa mãn. Ta nhận xét rằng $k_1 $ khác $h_1,h_2 $ (nếu không sẽ suy ra 2 bộ trùng nhau).Tương tự $k_2 $ khác $h_1,h_2 $ Khi đó ta có thể lấy a' sao cho $a'+k_1 \equiv 0 (mod 10) $ và chọn $k'_1=a'+k_1 (mod 10) $.$k'_2,h'_1,h'_2 $ tương tự. Bộ số cũ thỏa đề bài khi và chỉ khi bộ số mới thỏa đề bài.Ở đây để cho quen mắt thì đổi kí hiệu n thành g. Nếu $10| k'_2 $ thì $g^{h'_1} \equiv g^{h'_2} (mod 11) $ suy ra $h'_2 \equiv h'_1 (mod 10) $ suy ra $h'_2=h'_1 $.Nhưng như thế thì $k'_1+k'_2+h'_1+h'_2 \equiv 2(k'_1-h'_1) \equiv 0 (mod 10) $,suy ra $k'_1=h'_1 $,vô lý. Xét trường hợp còn lại,ta có $g^{k'_1} \equiv g^{h'_1+h'_2} $.Suy ra $1+ g^{h'_1+h'_2}-g^{h'_1}-g^{h'_2} \equiv 0 (mod 11) $ hay $(g^{h'_1}-1)(g^{h'_2}-1) \equiv 0 (mod 11) $.Vậy một trong hai số $h'_1,h'_2 $ phải chia hết cho 10,suy ra trùng với $k'_1 $,vô lý. Từ đó không tồn tại bộ $(k'_1,k'_2,h'_1,h'_2) $ thỏa nên cũng không tồn tại bộ $(k_1,k_2,h_1,h_2) $ thỏa. |
Bài 2: Ta có $MB^2=MC^2 $ nên M thuộc trục đẳng phương của $(O_1) $ và $(O_2) $. Suy ra DM là trục đẳng phương của 2 đường tròn. Do đó A thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn. $\Rightarrow AP.AB=AQ.AC \Rightarrow $ tứ giác BCPQ nội tiếp. Gọi tiếp tuyến của $(O_1) $ là Px thì $\widehat{xPB}=\widehat{PBC}=\widehat{PQA} $ hay (APQ) tiếp xúc với $(O_1) $, tương tự suy ra (APQ) tiếp xúc với cả $(O_1) $ và $(O_2) $. Tam giác APQ đồng dạng với ACB nên APQ không vuông. Suy ra tiếp tuyến tại P và Q phải cắt nhau tại S. $SP^2=SQ^2 $ nên S thuộc trục đẳng phương của $(O_1) $ và $(O_2) $, hay S thuộc 1 đường thẳng cố định. |
anh Vũ Đình Long làm hết thì phải |
nhìn bài 3 hay hay, đoán kết quả là 1006 , chắc là ko đúng =p~ có thể nhận thấy là hình $4 \times 2n $ có thể lát kín bởi $4 $ hcn đơn và các hình chữ nhật kép. Cứ mỗi lần ghép thêm hình chữ nhật $4\times 2n $ thì có thể bớt đi 1 hcn đơn của phần đã có và thêm vào $3 $ hcn đơn mới. Như vậy khi thêm $4 $ hàng thì số hcn đơn tăng lên $2 $. Do đó kết quả là $2008/2 + 2 = 1006 $. Đó chỉ là một quan sát thôi, còn kết quả thực tế chắc là nhỏ hơn $1006 $ X_X |
Chà ko biết Đà Nẵng thế nào nhĩ , cầu cho năm này có suất đi thi IMO chứ như năm ngoái thì buồn lắm :| |
Trích:
Cầu cho Quảng Ngãi có một người trong đội tuyển ! |
cho hỏi 3 bài làm trong mấy tiếng thế |
Thời gian làm bài hình như là 180 phút. |
thời gian là 4h30 phút . Năm nay bài số học và hình học nhẹ nhàng ! |
bác nào có đề thi sáng nay post lên đi. Thanks |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:34 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.