Vành artin và Noether!
 

Mọi người có thể giúp mình bài này được ko?
"Ta kí hiệu độ dài của mô đun M là l(M) chính là độ dài của dãy hợp thành cho M. Nếu M ko có dãy hợp thành ta lấy l(M)=∞ . Với dãy khớp ngắn
0-> N-> M ->M/N -> 0
Chứng minh rằng l(M) hữu hạn nếu và chỉ nếu l(N) và l(M/N) đều hữu hạn"
Mình cám ơn nhiều :D

Điều cần phải chứng minh ở trên xuất phát từ sự kiện $I(M)$ hữu hạn khi và chỉ khi $M$ đồng thời là module Noether và Artin, từ đó có nghĩa ta phải chứng minh $M$ Noether (Artin) khi và chỉ khi $N$ và $M/N$ Noether (Artin).

Bạn có thể xem thêm ở đây, Chap 7, từ 7.13 tới 7.19

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Để ý đến đẳng thức sau là xong
\[l(M)=l(N)+l(M/N).\]

L(M)=l(N)+l(M/N).
cái này người ta yêu cầu chứng minh ở câu b ấy :D, dù sao cũng cảm ơn bạn nha.

cám ơn bạn Mathandyou, mình sẽ tìm hiểu thêm :D

Thế này bạn nhé :)

1. Nếu $l(M)$ hữu hạn, thì do hai bất đẳng thức $l(N)\le l(M)$ và $l(M/N)\le l(M)$ nên $l(N)<\infty$ và $l(M/N)<\infty$.
   
   
2. Nếu $l(N)=n$ và $l(M/N)=p$, khi đó bạn sẽ xây dựng được một dãy hợp thành có độ dài $p+n$ sinh ra từ các dãy hợp thành của $M/N$ và $N$ tương ứng. Như vậy $M$ có dãy hợp thành nên $l(M)<\infty$, và có luôn \[l(M)=n+p=l(N)+l(M/N).\]

OK?