Mở rộng khái niệm nghịch đảo
 

Cho $a$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố thỏa $p\nmid a$. Khi đó với mỗi $i \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ thì tồn tại duy nhất $j \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ sao cho $i.j \equiv a{\rm{ }}({\rm{ }}mod{\rm{ }}p{\rm{ }})$

Với mỗi $i\in\mathcal U_p=\{1,\,2,\,\ldots ,\,p-1\}$, luôn tồn tại nghịch đảo của $i$ theo mod $p$ là $i'\in\mathcal U_p$ sao cho\[ii'\equiv 1\pmod p.\]Giờ ta gọi $j$ là số dư khi chia $p$ của $i'a$, ta có $j\in\mathcal U_p$ và\[ij \equiv ii'a \equiv a\pmod p .\]

1.Ta đi xét phương trình đồng dư : $ix \equiv a{\rm{ }}(\bmod p)$
với i,a,p được xác định như đề bài . Ta thấy rằng phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi $1 = gcd(a,p)|a$ và dĩ nhiên điều này luôn đúng nên với mỗi $i \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ thì phương trình trên luôn tồn tại nghiệm.
2. Giả sử tồn tại \[i,j,j' \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}\] sao cho
\[ij \equiv ij'{\rm{ }}(\bmod p) \to j \equiv j'{\rm{ }}(modp)\]
Dẫn đến điều vô lí nên ta có điều phải chứng minh