Vấn đề liên quan đến hàm số
 

Cho hàm số: $y=\frac{2x-3}{x-2} $ , có đồ thị (C)
Tiếp tuyến của (C) tại M thuộc (C) cắt các đường tiệm cận của (C ) tại 2 điểm A, B. Gọi I là giao điểm của tiệm cận. Tìm điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.


p/s: Ai làm được giúp mình câu này với nha! Cảm ơn nhiều ^^

Theo mình biết thì có cả 1 lớp bài toán về dạng toán "tam giác tạo thành bởi giao điểm của tiệm cận và tiếp tuyến", chẳng hạn như: tìm M để chu vi nhỏ nhất, bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất, bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất, ...
Trước hết, mình xin phân tích 1 vài điều:
- Đây là hàm nhất biến, có 2 tiệm cận là hai đường thẳng vuông góc. Thông thường khi gặp các câu hỏi phức tạp liên quan tới nó, người ta thường chuyển trục tọa độ về tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận.
- Dễ dàng chứng minh được tam giác IAB trong đề bài nói có diện tích không đổi.
- Đồng thời, tích hai đoạn thẳng IA và IB cũng không đổi.
- Trong đề bài, đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB chính là đường tròn đường kính AB (do tam giác này vuông tại I), do đó cần tìm M sao cho AB nhỏ nhất.
- Ta có: $AB^2 = IA^2 + IB^2 $ và $IA.IB $ không đổi nên đến đây chỉ cần sử dụng BDT Cauchy là xong.
Bài toán tương tự cũng được đặt ra với một hàm bậc hai trên bậc nhất (các tính chất nói chung không khác nhiều lắm, chỉ có góc tạo bởi hai tiệm cận thì khác góc vuông nên tính toán hơi phức tạp 1 chút).

Mình nghĩ thế này:
1,Dễ dàng c/m được $M $ là trung điểm của $AB $
2,Do tam giác $IAB $ vuông tại $I $ => $M $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác$IAM $.Khi đó $S_{IAM} = \pi.R^2 $ với $R=IM $
tới đây ta thấy $S ${min} <=> R {min}
Tiếp đến dùng đại số hay hình học đều được........cách này có vẻ tư duy tư nhiên nên bạn nên sử dụng nó để làm câu phụ bài 1 với tốc độ nhanh!

Các bạn nói rất đúng đây lag một trong những bài toán đặc trưng về hàm phân thức. Các bài toán cụ thể như thế nào thì bạn Huynhcongbang nói gần hết rồi nhưng các bạn thi đại học cũng nên chú ý đây là những bài toán hơi khó các bạn nên tập trung vào cực trị hàm số, tính đồng biến nghịch biến, tiếp tuyến, tương giao và tiệm cậnt hì tốt hơn. Chúc các bạ học và thi tốt!

Vì sao lại chứng minh đc M là trung điểm AB.Vì có rất nhiều tiếp tuyến chứ có phải tiếp tuyến nào cũng đi qua chình giữa đâu???