3 đường thẳng đồng quy (Ibero American 2008)
 

Cho tam giác $ABC $; $P,Q $ là hình chiếu vuông góc của $B,C $ lên phân giác ngoài của góc $A $. $M $ là giao điểm của $AB,CP $; $N $ là giao điểm của $AC,BQ $.
Chứng minh rằng $PQ,MN,BC $ đồng quy.

Bài toán trên khai thác từ bài toán của THCS:
Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác dựng các tam giác vuông đồng dạng APB và AQC. Gọi F là giao điểm của PC và BQ. Khi đó $AF \perp PQ $

Ta chứng minh BN, CM và đường phân giác góc A đồng quy
Gọi BN giao CM tại J
$\frac{JB}{JQ}=\frac{PB}{QC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BK }{CK} $ ( K la giao của phân giac trong góc A với BC)
=> JK vuông góc với PQ hay BN, CM và đường phân giác góc A đồng quy
đế đây dùng nốt hàng điểm điều hòa hoặc talet la ra

Có thể dùng định lý xeva:
Gọi D là chân đường phân giác của góc BAC
ta sẽ chứng minh M;D;N thẳng hàng
hay $\frac{MA}{MB}.\frac{DB}{DC}.\frac{NC}{NA}=1 $
thật vậyta có áp dụng xeva cho 3 điểm M;P;C trong tam giác ABD ta có
$\frac{MA}{MB}.\frac{CB}{CD}.\frac{PD}{PA}=1 $(1)
tương tự cho 3 điểm N;P;B trong tam giác ADC ta có:
$\frac{NC}{NA}.\frac{QA}{QD}.\frac{BD}{BC}=1 $(2)
Lại có vì AD là phân giác góc BAC nên
$\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB} $ (3)
tam giác ABP đồng dạng với tam giác ACQ
nên $\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AQ} $ (4)
từ (1);(2);(3) và (4) ta có đpcm
p/s: không biết viết gạch trên đầu nên đành viết độ dài các cạnh thông thường
SR không up hình lên được các bạn vẽ hình nhé :):)